Одиниці вимірювання кутів

Одиниці вимірювання кутів#

1. Радіан#

  • Визначення:
    Радіан — це одиниця вимірювання кута в системі SI. Один радіан визначається як центральний кут, при якому довжина дуги \(s\) кола дорівнює його радіусу \(r\). Формально:

    \[\theta \, (\text{у радіанах}) = \frac{s}{r}\]

    Якщо \(s = r\), тоді \(\theta = 1\) радіан.

  • Повний кут:
    Повний кут (тобто кут, що охоплює все коло) дорівнює \(2\pi\) радіан.

2. Градус#

  • Визначення:
    Градус є традиційною одиницею вимірювання кута, де повне коло поділяється на 360 рівних частин. Тобто:

    \[1° = \frac{1}{360} \text{ кола}\]

  • Перетворення в радіани:
    Оскільки \(360° = 2\pi\) радіан, то:

    \[1° = \frac{2\pi}{360} = \frac{\pi}{180} \text{ радіан}\]

    і навпаки:

    \[1 \text{ радіан} = \frac{180}{\pi}° \approx 57.2958°\]

3. Кутова мінута#

Примітка: мінута - це від латинського minuta.

  • Визначення:
    Кутова мінута — це \(\frac{1}{60}\) частина градуса:

    \[1' = \frac{1°}{60}\]

4. Кутова секунда#

  • Визначення:
    Кутова секунда — це \(\frac{1}{60}\) частина градусної хвилини, або:

    \[1'' = \frac{1'}{60} = \frac{1°}{3600}\]

5. Година, мінута та секунда (в астрономії)#

  • Визначення:

    В астрономії кут прямого піднесення і годинний кут в екваторіальній системі координат вимірюються в годинах, мінутах і секундах (що становлять відповідно 1⁄24, 1⁄1440 та 1⁄86400 від повного кола); це пов'язано з кутовою швидкістю осьового обертання Землі, яка робить приблизно 1 оберт за 24 години. Отже, за одну годину (хвилину, секунду) часу небесна сфера "повертається" приблизно на 1 годину (хвилину, секунду) у кутовій мірі. Інші кутові величини в астрономії виражаються зазвичай у градусах, мінутах та секундах дуги. Слід зазначити щоб уникнути плутанини, що одна секунда (мінута) прямого піднесення дорівнює 15 секундам (мінутам) дуги.

    При такому поділі повне коло (360°) відповідає 24 годинам (від \(0^h\) до \(24^h\)).

  • Перетворення (година):
    $\(1^h = \frac{360°}{24} = 15°\)$

    В радіанах:

    \[1^h = 15° = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \text{ радіан}\]

  • Перетворення (мінута):

    Оскільки 1 година (як кутова одиниця) дорівнює 15°, то:

    \[1^m = \frac{15°}{60} = 0.25° = 15'\]

    Тут \(15'\) позначають 15 кутових мінут.

  • Перетворення (секунда):

    Оскільки 1 хвилина (мінута) часу дорівнює 15', то 1 секунда часу (тобто \(\frac{1}{60}\) хвилини) буде:

    \[1^s = \frac{15'}{60} = 0.25' = 15''\]

Приклад коду#

# Означення функцій (методів) для перетворення одиниць вимірювання кутів

import math

def deg_to_rad(degrees):
    """
    Перетворює градуси у радіани.
    
    Формула: радіани = градуси * (π / 180)
    """
    return degrees * math.pi / 180

def rad_to_deg(radians):
    """
    Перетворює радіани у градуси.
    
    Формула: градуси = радіани * (180 / π)
    """
    return radians * 180 / math.pi

def deg_to_arcmin(degrees):
    """
    Перетворює градуси у кутові хвилини.
    
    Оскільки 1° = 60', множимо градуси на 60.
    """
    return degrees * 60

def arcmin_to_deg(arcminutes):
    """
    Перетворює кутові хвилини у градуси.
    """
    return arcminutes / 60

def deg_to_arcsec(degrees):
    """
    Перетворює градуси у кутові секунди.
    
    Оскільки 1° = 3600'' (60 хвилин по 60 секунд), множимо на 3600.
    """
    return degrees * 3600

def arcsec_to_deg(arcseconds):
    """
    Перетворює кутові секунди у градуси.
    """
    return arcseconds / 3600

def hour_to_deg(hours):
    """
    Перетворює години (астрономічні, де 24 години = 360°) у градуси.
    
    1 год = 360° / 24 = 15°
    """
    return hours * 15

def deg_to_hour(degrees):
    """
    Перетворює градуси у години (астрономічні).
    """
    return degrees / 15

def hour_to_rad(hours):
    """
    Перетворює години (астрономічні) у радіани.
    
    Спочатку перетворюємо години у градуси, потім градуси у радіани.
    """
    degrees = hour_to_deg(hours)
    return deg_to_rad(degrees)

def rad_to_hour(radians):
    """
    Перетворює радіани у години (астрономічні).
    """
    degrees = rad_to_deg(radians)
    return deg_to_hour(degrees)

def hms_to_deg(hours, minutes, seconds):
    """
    Перетворює години, хвилини та секунди (астрономічні) у градуси.
    
    Обчислення:
      total_hours = hours + minutes/60 + seconds/3600
      градуси = total_hours * 15
    """
    total_hours = hours + minutes / 60 + seconds / 3600
    return hour_to_deg(total_hours)

# Демонстрація конвертації градусів та радіан
angle_deg = 45
angle_rad = deg_to_rad(angle_deg)
print(f"{angle_deg}° = {angle_rad:.4f} радіан")

45° = 0.7854 радіан

angle_rad = math.pi / 6
angle_deg = rad_to_deg(angle_rad)
print(f"{angle_rad:.4f} радіан = {angle_deg:.2f}°")

0.5236 радіан = 30.00°

# Демонстрація конвертації в кутові хвилини та секунди

arcmin = deg_to_arcmin(30)
arcsec = deg_to_arcsec(30)
print(f"30° = {arcmin}' (кутових мінут)")
print(f"30° = {arcsec}'' (кутових секунд)")

30° = 1800' (кутових мінут)
30° = 108000'' (кутових секунд)

# Астрономічні одиниці: перетворення годин у градуси та радіани
hours = 2  # 2 астрономічні години
deg_from_hours = hour_to_deg(hours)
rad_from_hours = hour_to_rad(hours)
print(f"{hours} астрономічні години = {deg_from_hours}° = {rad_from_hours:.4f} радіан")

2 астрономічні години = 30° = 0.5236 радіан

# Перетворення з формату годин, хвилин, секунд у градуси
h, m, s = 3, 15, 30  # Наприклад, 3 години 15 хвилин 30 секунд
deg_from_hms = hms_to_deg(h, m, s)
print(f"{h}h {m}m {s}s (астрономічно) = {deg_from_hms:.4f}°")

3h 15m 30s (астрономічно) = 48.8750°