Швидкість та відносність руху

Швидкість та відносність руху#

Ми вже розібралися з базовими поняттями кінематики, такими як система відліку, траєкторія, шлях та переміщення. Тепер настав час детальніше дослідити одну з ключових характеристик руху - швидкість. Ми з'ясуємо, чому простих уявлень про неї недостатньо для опису реальних рухів і як фізики вирішують цю проблему за допомогою різних видів швидкості.

Рівномірний прямолінійний рух та його характеристики#

Як ми пам'ятаємо, рівномірний прямолінійний рух - це найпростіший вид руху, під час якого тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Це означає, що його швидкість залишається незмінною як за значенням, так і за напрямком (\(\vec{v} = \text{const}\)).

Швидкість рівномірного прямолінійного руху (\(\vec{v}\)) - це векторна фізична величина, що дорівнює відношенню переміщення \(\vec{s}\) до проміжку часу \(t\), за який це переміщення відбулося.

\[\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}\]

Одиниця вимірювання в СІ: метр за секунду (м/с).

Рівняння координати: як знайти тіло в будь-який момент часу#

Основна задача механіки - визначати положення тіла в будь-який момент часу. Для рівномірного руху це зробити досить просто. Давайте виведемо відповідну формулу.

Розглянемо рух тіла вздовж координатної осі, наприклад, осі ОХ.
За визначенням, проекція швидкості на цю вісь дорівнює:

\[v_x = \frac{s_x}{t},\]

де \(s_x\) - проекція переміщення.
Проекція переміщення - це різниця між кінцевою (\(x\)) та початковою (\(x_0\)) координатами:

\[s_x = x - x_0\]
Підставимо вираз для \(s_x\) у формулу швидкості:

\[v_x = \frac{x - x_0}{t}\]
Тепер виразимо звідси кінцеву координату \(x\). Спочатку помножимо обидві частини на \(t\):

\[v_x t = x - x_0\]
Перенесемо \(x_0\) в ліву частину і отримаємо кінцеве рівняння:

Рівняння координати для рівномірного прямолінійного руху:

\[x(t) = x_0 + v_x t\]

де:

\(x(t)\) - координата тіла в момент часу \(t\);

\(x_0\) - початкова координата (в момент \(t=0\));

\(v_x\) - проекція швидкості на вісь ОХ.

Важливо: \(v_x\) є проекцією, а не модулем швидкості. Якщо тіло рухається в напрямку осі ОХ, то \(v_x > 0\). Якщо проти осі - \(v_x < 0\).

Графічне представлення рівномірного руху#

Графіки - це потужний інструмент для аналізу руху. Розглянемо два основні графіки для рівномірного руху.

Графік проекції швидкості (\(v_x(t)\)): Оскільки при рівномірному русі швидкість стала (\(v_x = \text{const}\)), графіком її проекції є пряма лінія, паралельна осі часу.
- Якщо \(v_x > 0\), лінія лежить вище осі \(t\).
- Якщо \(v_x < 0\), лінія лежить нижче осі \(t\).
- Геометричний зміст переміщення: Площа прямокутника під графіком \(v_x(t)\) чисельно дорівнює проекції переміщення \(s_x\) за час \(t\) (адже з формули \(s_x = v_x \cdot t\) видно, що це добуток сторін прямокутника).
Графік координати (\(x(t)\)): Рівняння \(x(t) = x_0 + v_x t\) є лінійною функцією. Отже, графіком координати є пряма лінія.
- \(x_0\) (початкова координата) - це точка перетину графіка з віссю ординат.
- \(v_x\) (проекція швидкості) - визначає нахил графіка. Чим більший кут нахилу графіка до осі часу, тим більший модуль швидкості. Якщо графік спадає, то \(v_x < 0\).

Нерівномірний рух: коли швидкість змінюється#

У реальному світі рух рідко буває рівномірним. Автомобіль розганяється і гальмує, бігун змінює темп. Такий рух називається нерівномірним.

Нерівномірний рух - це рух, під час якого тіло за рівні проміжки часу долає різний шлях (здійснює різні переміщення).

Для опису такого складного руху вводяться поняття середньої та миттєвої швидкостей.

Середня швидкість: узагальнена характеристика руху#

Уявіть, що ви їдете з Києва до Львова (відстань приблизно 540 км) і вся поїздка зайняла 6 годин, враховуючи зупинки та затори. Якою була ваша швидкість? Вона постійно змінювалась. Щоб охарактеризувати такий рух загалом, використовують поняття середньої швидкості. Однак тут є важливий нюанс, тому розрізняють два її види.

Середня шляхова швидкість (\(v_{сер}\))

Це скалярна величина, що показує, як швидко тіло долало шлях.

Середня шляхова швидкість - це відношення всього пройденого шляху \(l\) до всього часу руху \(t\).

\[v_{сер} = \frac{l_{загальний}}{t_{загальний}} = \frac{l_1 + l_2 + ...}{t_1 + t_2 + ...}\]

Одиниця вимірювання в СІ: метр за секунду (м/с).
- Приклад: Атлет пробіг 400 м по колу стадіону за 50 с. Його середня шляхова швидкість: \(v_{сер} = \frac{400 \text{ м}}{50 \text{ с}} = 8 \text{ м/с}\).
Середня векторна швидкість (або середня швидкість переміщення, \(\vec{v}_{сер}\))

Це векторна величина, яка характеризує зміну положення тіла.

Середня векторна швидкість - це відношення вектора переміщення \(\vec{s}\) до часу \(t\), за який це переміщення відбулося.

\[\vec{v}_{сер} = \frac{\vec{s}}{t}\]

Одиниця вимірювання в СІ: метр за секунду (м/с).
- Приклад: Той самий атлет пробіг коло і повернувся в точку старту. Його шлях \(l=400\) м, але переміщення \(\vec{s} = \vec{0}\), оскільки початкова і кінцева точки збігаються. Тому його середня векторна швидкість дорівнює нулю: \(\vec{v}_{сер} = \frac{\vec{0}}{50 \text{ с}} = \vec{0}\) м/с.

Миттєва швидкість: що показує спідометр?#

Середня швидкість дає лише загальне уявлення про рух. Але що, як нас цікавить швидкість в конкретний момент часу, в конкретній точці траєкторії? Для цього існує поняття миттєвої швидкості.

Миттєва швидкість (\(\vec{v}\)) - це середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу. Простими словами, це швидкість тіла в даний момент часу і в даній точці траєкторії.

Саме миттєву швидкість (точніше, її модуль) показує спідометр автомобіля. Вектор миттєвої швидкості завжди напрямлений по дотичній до траєкторії в точці, де знаходиться тіло.

Відносність руху: все залежить від спостерігача#

Одним з фундаментальних принципів механіки є принцип відносності руху: траєкторія, переміщення і швидкість тіла залежать від вибору системи відліку.

Уявіть, що ви йдете по вагону поїзда. Відносно підлоги вагона ви рухаєтесь зі швидкістю, скажімо, 1 м/с. Але поїзд рухається відносно землі зі швидкістю 20 м/с. Якою буде ваша швидкість відносно людини, що стоїть на пероні? Щоб відповісти на такі питання, використовують закони додавання переміщень і швидкостей.

Для цього введемо поняття:

Нерухома система відліку (НСВ) - система, що умовно вважається нерухомою (наприклад, Земля, перон).
Рухома система відліку (РСВ) - система, що рухається відносно нерухомої (наприклад, вагон поїзда).

Закон додавання переміщень і швидкостей#

Давайте виведемо ці закони на нашому прикладі з поїздом.

\(\vec{s}\) - ваше переміщення відносно нерухомої системи відліку (НСВ) (Землі).
\(\vec{s}_1\) - переміщення рухомої системи відліку (РСВ) (вагона) відносно нерухомої системи відліку (НСВ) (Землі).
\(\vec{s}_2\) - ваше переміщення відносно рухомої системи відліку (РСВ) (вагона).

Здоровий глузд підказує, що ваше повне переміщення відносно землі складається з переміщення самого поїзда та вашого переміщення всередині поїзда. Математично це записується так:

Закон додавання переміщень:

\[\vec{s} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2\]

А тепер найцікавіше - виведення закону додавання швидкостей. Якщо ми поділимо обидві частини попереднього рівняння на проміжок часу \(t\), за який відбулися ці переміщення, ми отримаємо:

\[ \frac{\vec{s}}{t} = \frac{\vec{s}_1}{t} + \frac{\vec{s}_2}{t} \]

Кожен із цих дробів є, за визначенням, відповідною швидкістю:

\(\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}\) - швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку (НСВ).
\(\vec{v}_1 = \frac{\vec{s}_1}{t}\) - швидкість рухомої системи відліку (РСВ) відносно нерухомої системи відліку (НСВ).
\(\vec{v}_2 = \frac{\vec{s}_2}{t}\) - швидкість тіла відносно рухомої системи відліку (РСВ).

Таким чином, ми отримуємо класичний закон додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей (принцип відносності Галілея):

Швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку дорівнює векторній сумі швидкості рухомої системи відліку відносно нерухомої та швидкості тіла відносно рухомої системи.

\[\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\]

Приклади застосування:

Ви йдете у напрямку руху поїзда: Ваша швидкість і швидкість поїзда напрямлені в один бік. Модулі швидкостей додаються. Якщо \(v_1=20\) м/с, а \(v_2=1\) м/с, то ваша швидкість відносно землі \(v = 20 + 1 = 21\) м/с.
Ви йдете проти руху поїзда: Ваша швидкість напрямлена проти швидкості поїзда. Модулі швидкостей віднімаються. Ваша швидкість відносно землі \(v = 20 - 1 = 19\) м/с.
Човен перепливає річку: Швидкість течії річки (\(v_1\)) перпендикулярна до власної швидкості човна (\(v_2\)). Щоб знайти результуючу швидкість човна відносно берега (\(\vec{v}\)), потрібно додати ці вектори за правилом прямокутника (або паралелограма). Модуль швидкості в цьому випадку знайдемо за теоремою Піфагора, оскільки обидві швидкості є перпендикулярними одна одній і формують катети прямокутного трикутника, а ми, фактично, шукаємо гіпотенузу: \(v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\).

Отже, ми детально розібрали поняття швидкості, навчилися відрізняти рівномірний рух від нерівномірного, розібралися з різними видами швидкостей та зрозуміли, як вибір системи відліку впливає на опис руху. Ці знання є фундаментом для подальшого вивчення більш складних видів руху.

Підсумок#

Поняття / Характеристика	Визначення та Опис	Формула
Рівномірний прямолінійний рух	Рух, під час якого тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Швидкість є сталою \(\vec{v} = \text{const}\).
Швидкість рівномірного руху	Векторна величина, що дорівнює відношенню переміщення до проміжку часу, за який воно відбулося.	\(\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}\)
Рівняння координати	Формула для визначення положення тіла в будь-який момент часу \(t\) при рівномірному русі.	\(x(t) = x_0 + v_x t\)
Нерівномірний рух	Рух, під час якого швидкість тіла змінюється (тіло за рівні проміжки часу долає різний шлях).
Середня шляхова швидкість	Скалярна величина; відношення всього пройденого шляху l до всього часу руху t. Характеризує, як швидко тіло долало шлях.	\(v_{сер} = \frac{l_{загальний}}{t_{загальний}}\)
Середня векторна швидкість	Векторна величина; відношення вектора переміщення \(\vec{s}\) до часу t, за який це переміщення відбулося.	\(\vec{v}_{сер} = \frac{\vec{s}}{t}\)
Миттєва швидкість	Швидкість тіла в даний момент часу і в даній точці траєкторії. Вектор напрямлений по дотичній до траєкторії.
Принцип відносності руху	Траєкторія, переміщення і швидкість тіла залежать від вибору системи відліку.
Закон додавання переміщень	Переміщення тіла відносно нерухомої системи відліку \(\vec{s}\) дорівнює векторній сумі переміщення рухомої системи відліку \(\vec{s}_1\) та переміщення тіла відносно рухомої системи \(\vec{s}_2\).	\(\vec{s} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2\)
Закон додавання швидкостей	Швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку \(\vec{v}\) дорівнює векторній сумі швидкості рухомої системи відліку \(\vec{v}_1\) та швидкості тіла відносно рухомої системи \(\vec{v}_2\).	\(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\)