Рівномірний рух по колу#
Уявімо собі, що ми їдемо на автомобілі. Поки дорога пряма, наш рух називається прямолінійним. Але щойно ми починаємо повертати, траєкторія нашого руху стає кривою лінією. Такий рух називається криволінійним.
Прикладами криволінійного руху є рух планет навколо Сонця, політ кинутого каменя, або рух кінчика стрілки годинника. Важливою особливістю такого руху є те, що напрямок швидкості тіла постійно змінюється.
Криволінійний рух та рух по колу#
Коли ми говоримо про швидкість криволінійного руху, ми зазвичай маємо на увазі миттєву швидкість. Це швидкість тіла в даний момент часу і в даній точці траєкторії.
Уявімо знову наш автомобіль на повороті. Якщо в якийсь момент часу з відкритого вікна випаде невеликий предмет, він полетить не вбік, а прямо, вздовж напрямку руху автомобіля в той самий момент.
Миттєва швидкість \(\vec{v}\) - це векторна величина, яка в будь-якій точці криволінійної траєкторії напрямлена по дотичній до неї.
Оскільки напрямок миттєвої швидкості постійно змінюється, криволінійний рух завжди є рухом з прискоренням, навіть якщо модуль швидкості залишається незмінним. Ми детальніше поговоримо про це трохи згодом.
Найпростішим прикладом криволінійного руху є рівномірний рух матеріальної точки по колу. Це такий рух, при якому тіло (матеріальна точка) рухається по коловій траєкторії з незмінною за модулем швидкістю.
Рівномірний, бо модуль швидкості не змінюється.
По колу, бо траєкторією є коло.
Прикладами можуть бути: рух кабінки оглядового колеса, рух супутника по круговій орбіті або рух точки на краю диска, що обертається.
Давайте розглянемо основні кінематичні характеристики, що описують цей рух.
Лінійна швидкість#
Перша характеристика, з якою ми познайомимось, - це лінійна швидкість.
Лінійна швидкість \(v\) - це фізична величина, яка показує, який шлях проходить тіло вздовж дуги кола за одиницю часу.
Якщо тіло за час \(t\) проходить по дузі кола шлях \(l\), то модуль лінійної швидкості можна знайти за формулою:
При рівномірному русі по колу модуль лінійної швидкості є величиною сталою \(v = \text{const}\), але її напрямок, як ми пам'ятаємо, постійно змінюється, залишаючись дотичним до кола в кожній точці.
Одиниця вимірювання в системі СІ: метр за секунду (м/с).
Рис. 1. Швидкість \(v\) і прискорення \(a\) при рівномірному русі по колу з кутовою швидкістю \(\omega\); швидкість постійна, але завжди дотична до орбіти; прискорення має постійну величину і завжди спрямоване до центру обертання.
Період обертання#
Уявімо, що ми спостерігаємо за точкою на ободі колеса. Час, за який ця точка зробить один повний оберт і повернеться у вихідне положення, має особливу назву.
Період обертання \(T\) - це фізична величина, що дорівнює часу, протягом якого тіло здійснює один повний оберт по колу.
Якщо за час \(t\) тіло здійснило \(N\) повних обертів, то період можна обчислити так:
Наприклад, якщо секундна стрілка годинника робить один повний оберт за 60 секунд, то її період обертання дорівнює 60 с.
Одиниця вимірювання в системі СІ: секунда (с).
Обертова частота#
Щільно пов'язаною з періодом є інша характеристика - обертова частота.
Обертова частота \(n\) (іноді позначається як \(\nu\)) - це фізична величина, яка дорівнює кількості повних обертів, що здійснює тіло по колу за одиницю часу.
Формула для її обчислення виглядає наступним чином:
Одиниця вимірювання в системі СІ: оберт за секунду (об/с) або Герц (Гц). 1 Гц = 1 \(\text{с}^{-1}\).
Зв'язок періоду та частоти#
Давайте подивимось на формули для періоду та частоти:
Легко помітити, що це взаємно обернені величини. Якщо ми перемножимо їх, отримаємо:
Звідси випливає важливий зв'язок:
Чим більший період (тіло обертається повільно), тим менша частота, і навпаки.
Кутові характеристики руху#
Окрім лінійних величин, для опису руху по колу дуже зручно використовувати кутові характеристики.
Кутова швидкість#
Коли тіло рухається по колу, його радіус-вектор (вектор, проведений від центра кола до точки) повертається на певний кут. Швидкість зміни цього кута і є кутовою швидкістю.
Кутова швидкість \(\omega\) - це фізична величина, яка дорівнює відношенню кута повороту радіус-вектора \(\varphi\) до проміжку часу \(t\), за який цей поворот відбувся.
Одиниця вимірювання в системі СІ: радіан за секунду (рад/с).
Нагадаємо, що кути у фізиці частіше вимірюють в радіанах. Один повний оберт відповідає куту \(2\pi\) радіан (або 360°).
Кутова швидкість через період та частоту#
Давайте знайдемо, як пов'язана кутова швидкість з періодом. За час, що дорівнює одному періоду \(T\), тіло робить повний оберт, тобто радіус-вектор повертається на кут \(\varphi = 2\pi\) радіан. Підставимо ці значення у формулу кутової швидкості:
Оскільки ми знаємо, що \(n = \frac{1}{T}\), то можемо також виразити кутову швидкість через обертову частоту:
Зв'язок між лінійними та кутовими характеристиками#
А тепер давайте встановимо зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями. Це одна з ключових ідей у вивченні руху по колу.
Ми знаємо, що \(v = \frac{l}{t}\). За час одного періоду \(t=T\) тіло проходить шлях, що дорівнює довжині кола \(l = 2\pi r\), де \(r\) - радіус кола. Підставимо ці значення:
Ця формула дозволяє обчислити лінійну швидкість, знаючи радіус кола та період обертання.
А тепер найцікавіше! Ми маємо дві формули:
\(v = \frac{2\pi r}{T}\)
\(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
Подивімося уважно на першу формулу. Ми можемо її переписати так:
Вираз у дужках - це не що інше, як наша формула для кутової швидкості \(\omega\). Замінивши його, ми отримуємо елегантну і дуже важливу формулу:
Ця формула показує прямий зв'язок між лінійною та кутовою швидкостями: лінійна швидкість дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола, по якому рухається тіло.
Аналогія: Уявіть собі карусель. Дві людини сидять на ній: одна ближче до центру, інша - далі. Карусель обертається як єдине ціле, тому кутова швидкість \(\omega\) для обох людей однакова (вони повертаються на однаковий кут за однаковий час). Але людина, що сидить далі від центру (на більшому радіусі \(r\)), за той самий час проходить більший шлях по дузі кола. Отже, її лінійна швидкість \(v\) є більшою.
Доцентрове прискорення#
Як ми вже згадували на початку, будь-який криволінійний рух - це рух із прискоренням. Навіть якщо модуль швидкості сталий (рівномірний рух), її напрямок змінюється, а зміна вектора швидкості - це і є прискорення.
При рівномірному русі по колу вектор прискорення завжди напрямлений до центра кола. Тому його називають доцентровим прискоренням.
Доцентрове (нормальне) прискорення \(a_{дц}\) - це складова прискорення, яка характеризує зміну напрямку вектора швидкості і напрямлена по радіусу до центра кола.
Вектор доцентрового прискорення завжди перпендикулярний вектору лінійної швидкості тіла, що рухається по колу.
Виведення формули доцентрового прискорення \(a_{дц} = \frac{v^2}{r}\)#
Це виведення є класичним і дуже красивим. Розглянемо його крок за кроком.
Нехай тіло за невеликий проміжок часу \(\Delta t\) перемістилося з точки A в точку B, пройшовши дугу \(\Delta l\). Його швидкість змінила напрямок з \(\vec{v}_A\) на \(\vec{v}_B\). Модулі швидкостей однакові: \(|\vec{v}_A| = |\vec{v}_B| = v\).
За означенням, прискорення \(\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\), де \(\Delta\vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A\) - це зміна вектора швидкості.
Побудуємо трикутник векторів швидкостей. Перенесемо вектор \(\vec{v}_B\) так, щоб його початок збігався з початком вектора \(\vec{v}_A\). Вектор \(\Delta\vec{v}\) з'єднає їхні кінці.
Тепер розглянемо трикутник OAB, де O - центр кола. Цей трикутник є рівнобедреним (OA = OB = r). Трикутник, утворений векторами \(\vec{v}_A\), \(\vec{v}_B\) і \(\Delta\vec{v}\), також є рівнобедреним (\(|\vec{v}_A| = |\vec{v}_B|\)).
Кут \(\Delta\varphi\) між радіусами OA і OB дорівнює куту між векторами швидкостей \(\vec{v}_A\) і \(\vec{v}_B\) (оскільки вектори швидкості перпендикулярні до радіусів).
Отже, трикутник OAB і трикутник векторів швидкостей є подібними.
З подібності трикутників ми можемо записати відношення відповідних сторін:
\[ \frac{|\Delta\vec{v}|}{v} = \frac{\text{AB}}{r} \]Для малих кутів \(\Delta\varphi\) довжину хорди AB можна вважати приблизно рівною довжині дуги \(\Delta l\). Тобто, \(\text{AB} \approx \Delta l\).
\[ \frac{\Delta v}{v} \approx \frac{\Delta l}{r} \]Звідси виразимо модуль зміни швидкості: \(\Delta v \approx \frac{v \cdot \Delta l}{r}\).
Тепер підставимо це у формулу прискорення \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\):
\[ a \approx \frac{v \cdot \Delta l}{r \cdot \Delta t} = \frac{v}{r} \cdot \frac{\Delta l}{\Delta t} \]Величина \(\frac{\Delta l}{\Delta t}\) - це і є модуль лінійної швидкості \(v\). Коли \(\Delta t \to 0\), ця рівність стає точною.
Таким чином, ми отримуємо кінцеву формулу для доцентрового прискорення:
\[ a_{дц} = \frac{v^2}{r} \]
Одиниця вимірювання в системі СІ: метр на секунду в квадраті (\(\text{м}/\text{с}^2\)).
Формула доцентрового прискорення через кутову швидкість#
Ми можемо легко отримати ще одну корисну формулу, використавши зв'язок \(v = \omega r\). Підставимо цей вираз у щойно виведену формулу:
Скоротивши на \(r\), отримаємо:
Ця формула дуже зручна, коли відома кутова швидкість обертання. Вона показує, що доцентрове прискорення прямо пропорційне квадрату кутової швидкості. Саме тому при швидкому обертанні на каруселі нас так сильно "притискає" до сидіння.
Підсумок#
Характеристика |
Опис / Визначення |
Формула / Одиниця вимірювання(СІ) |
|---|---|---|
Вступні поняття |
||
Криволінійний рух |
Рух, траєкторія якого є кривою лінією. Напрямок швидкості постійно змінюється. |
Завжди рух із прискоренням. |
Миттєва швидкість \(\vec{v}\) |
Векторна величина, напрямлена по дотичній до траєкторії в даний момент часу. |
|
Рівномірний рух по колу |
Рух матеріальної точки по коловій траєкторії з незмінною за модулем швидкістю. |
Модуль лінійної швидкості \(v = \text{const}\), напрямок \(\vec{v}\) змінюється. |
Лінійні характеристики |
||
Лінійна швидкість \(v\) |
Фізична величина, що показує, який шлях \(l\) проходить тіло вздовж дуги за час \(t\). |
\(v = \frac{l}{t}\), м/с |
Період обертання \(T\) |
Час, протягом якого тіло здійснює один повний оберт \(N=1\). |
\(T = \frac{t}{N}\), с |
Обертова частота \(n\) |
Кількість повних обертів \(N\), що здійснює тіло за одиницю часу \(t\). |
\(n = \frac{N}{t}\), об/с або Гц (\(\text{с}^{-1}\)) |
Зв'язок \(T\) та \(n\) |
Період та частота є взаємно оберненими величинами. |
\(T = \frac{1}{n}\), \(n = \frac{1}{T}\) |
Кутові характеристики |
||
Кутова швидкість \(\omega\) |
Відношення кута повороту радіус-вектора \(\varphi\) до проміжку часу \(t\). |
\(\omega = \frac{\varphi}{t}\), рад/с |
Кутова швидкість через \(T\) |
Кутова швидкість через період обертання (повний оберт \(\varphi = 2\pi\) рад). |
\(\omega = \frac{2\pi}{T}\) |
Кутова швидкість через \(n\) |
Кутова швидкість через обертову частоту. |
\(\omega = 2\pi n\) |
Зв'язок лінійних та кутових |
||
Зв'язок \(v\) та \(\omega\) |
Лінійна швидкість дорівнює добутку кутової швидкості на радіус кола \(r\). |
\(v = \omega r\) |
Прискорення |
||
Доцентрове прискорення \(a_{дц}\) |
Складова прискорення, що характеризує зміну напрямку швидкості. Напрямлена до центра кола, перпендикулярно \(\vec{v}\). |
\(a_{дц} = \frac{v^2}{r}\), \(a_{дц} = \omega^2 r\), м/с\(^2\) |