Задача. Зміна внутрішньої енергії

Задача. Зміна внутрішньої енергії#

Неон масою 100 г міститься в колбі об'ємом 5,0 л. У процесі ізохорного охолодження тиск неону зменшився від \(100 \, \text{кПа}\) до \(50 \, \text{кПа}\). На скільки при цьому змінилися внутрішня енергія та температура неону?

Дано:#

  • \(m = 0.10 \, \text{кг}\)

  • \(V = 5.0 \cdot 10^{-3} \, \text{м}^3\)

  • \(p_1 = 1.0 \cdot 10^5 \, \text{Па}\)

  • \(p_2 = 0.5 \cdot 10^5 \, \text{Па}\)

  • \(M = 20 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}\)

  • \(R = 8.31 \, \text{Дж / (моль К)}\)

Знайти:

  • \(\Delta U\) — ?

  • \(\Delta T\) — ?

Розв'язання#

Для одноатомного ідеального газу внутрішня енергія визначається як:

\[ U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT \]

де:

  • \(m\) — маса газу (кг);

  • \(M\) — молярна маса газу (кг/моль);

  • \(R\) — універсальна газова стала (Дж/(моль·К));

  • \(T\) — температура газу (К).

При зміні температури на \(\Delta T = T - T_0\), відповідна зміна внутрішньої енергії дорівнює:

\[ \Delta U = U - U_0 = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R T - \frac{3}{2} \frac{m}{M} R T_0 = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R \left(T - T_0 \right) = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R \Delta T \]

Маємо таку формулу:

\[ \Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} R \Delta T \]

Виводимо:

\[ \frac{3}{2} \frac{m}{M} R \Delta T = \Delta U \]
\[ \frac{m}{M} R \Delta T = \frac{2 \Delta U}{3} \]
\[ R \Delta T = \frac{2 M \Delta U}{3 m} \]

Результат:

\[ \Delta T = \frac{2 M \Delta U}{3 m R} \]

Оскільки процес ізохорний (об'єм не змінюється):

\[ V_1 = V_2 = V \]

то для одноатомного газу зміна внутрішньої енергії визначається за формулою:

\[ \Delta U = \frac{3}{2} p_2 V_2 - \frac{3}{2} p_1 V_1 = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2} V (p_2 - p_1) \]

Зміна температури визначається за формулою:

\[ \Delta T = \frac{2M \Delta U}{3mR} \]

Обчислення#

  1. Обчислимо \(\Delta U\):

    \[ \Delta U = \frac{3}{2} V (p_2 - p_1) \]

  2. Обчислимо \(\Delta T\):

    \[ \Delta T = \frac{2M \Delta U}{3mR} \]

Відповідь#

  • \(\Delta U = -375 \, \text{Дж}\)

  • \(\Delta T = -6 \, \text{К}\)

Код#

# Вхідні дані
V = 5.0e-3       # м³ (5,0 л)
p1 = 1.0e5       # Па (100 кПа)
p2 = 0.5e5       # Па (50 кПа)
M = 20e-3        # кг/моль
m = 0.10         # кг
R = 8.31         # Дж/(моль·К)

# Зміна внутрішньої енергії
delta_U = (3 / 2) * V * (p2 - p1)

print(f"delta_U = {delta_U:.2f} Дж")

delta_U = -375.00 Дж

# Зміна температури
delta_T = (2 * M * delta_U) / (3 * m * R)

print(f"delta_T = {delta_T:.2f} K")

delta_T = -6.02 K

# Підсумок
print(f"Зміна внутрішньої енергії: ΔU = {delta_U:.2f} Дж")
print(f"Зміна температури: ΔT = {delta_T:.2f} К")

Зміна внутрішньої енергії: ΔU = -375.00 Дж
Зміна температури: ΔT = -6.02 К