Рівноприскорений прямолінійний рух

Рівноприскорений прямолінійний рух#

Для початку давайте згадаємо, що таке механічний рух. Це зміна положення тіла в просторі відносно інших тіл з плином часу. Рух буває різним, і один з найпростіших для вивчення - це прямолінійний рівномірний рух, коли тіло за будь-які рівні проміжки часу долає однаковий шлях, а його швидкість залишається незмінною.

Але що, як швидкість змінюється? Такий рух ми називаємо нерівномірним.

Уявіть собі автомобіль, що рушає зі світлофора, або потяг, що гальмує перед станцією. В обох випадках їхня швидкість не є сталою. Рівноприскорений прямолінійний рух - це окремий, але дуже поширений випадок нерівномірного руху.

Рівноприскорений прямолінійний рух - це такий рух, під час якого тіло рухається вздовж прямої, і його швидкість за будь-які рівні проміжки часу змінюється на однакову величину.

Ключова характеристика такого руху - це прискорення.

Прискорення: Міра зміни швидкості#

Коли ми говоримо, що швидкість тіла змінюється, нам потрібна фізична величина, яка б описувала, наскільки швидко ця зміна відбувається. Цією величиною і є прискорення.

Прискорення $\vec{a}$ - це векторна фізична величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості тіла і дорівнює відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася.

Математично це записується так:

\[ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \]

де:

$\Delta \vec{v}$ - зміна швидкості.
$\Delta t$ - проміжок часу, за який відбулася ця зміна.

Зміну швидкості можна розписати як різницю між кінцевою (миттєвою) та початковою швидкістю: $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{v_0}$. Якщо ми розглядаємо рух від самого початку (коли час $t_0 = 0$), то проміжок часу $\Delta t$ дорівнюватиме просто $t$. Тоді формула набуває вигляду:

\[ \vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t} \]

де:

$\vec{v}$ - миттєва швидкість - це швидкість тіла в даний момент часу $t$ (в задачах з кінематики її часто називають кінцевою швидкістю, оскільки момент часу $t$ часто вважають кінцевим моментом часу)
$\vec{v_0}$ - початкова швидкість - це швидкість тіла в початковий момент часу ($t=0$).

Одиниця вимірювання прискорення в СІ#

Давайте виведемо одиницю вимірювання прискорення з його формули. Швидкість вимірюється в метрах за секунду (м/с), а час - у секундах (с).

\[ [a] = \frac{[v]}{[t]} = \frac{\text{м/с}}{\text{с}} = \text{м}/\text{с}^2 \]

Отже, одиниця вимірювання прискорення в Міжнародній системі одиниць (СІ) - метр на секунду в квадраті ($\text{м}/\text{с}^2$).

Що означає прискорення, наприклад, 2 $\text{м}/\text{с}^2$? Це означає, що за кожну секунду швидкість тіла збільшується на 2 м/с.

Якщо в початковий момент часу тіло перебувало у спокої ($v_0 = 0$), то через 1 с його швидкість буде 2 м/с, через 2 с - 4 м/с, через 3 с - 6 м/с і так далі.

Важливо пам'ятати, що прискорення, як і швидкість, є векторною величиною, тобто має і модуль (числове значення), і напрямок.

Якщо напрямок вектора прискорення збігається з напрямком вектора швидкості, тіло розганяється (рух є прискореним).
Якщо напрямок вектора прискорення протилежний напрямку вектора швидкості, тіло гальмує (рух є сповільненим).

Проекції на вісь координат#

Працювати з векторами не завжди зручно, тому в задачах ми часто використовуємо їхні проекції на осі координат (наприклад, на вісь OX). Формула для прискорення в проекціях виглядає так:

\[ a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t} \]

де:

$a_x$ - проекція прискорення на вісь OX.
$v_x$ - проекція миттєвої (кінцевої) швидкості на вісь OX.
$v_{0x}$ - проекція початкової швидкості на вісь OX.

Проекція може бути додатною, від'ємною або нульовою, залежно від того, куди напрямлений вектор відносно осі.

Рівняння та графіки для рівноприскореного руху#

Тепер, коли ми розібралися з прискоренням, ми можемо отримати основні рівняння, що описують рівноприскорений рух.

Рівняння та графік проекції швидкості#

Давайте візьмемо нашу формулу для проекції прискорення $a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$ і виразимо з неї кінцеву швидкість $v_x$.

Крок 1: Помножимо обидві частини на $t$:

\[a_x \cdot t = v_x - v_{0x}\]

Крок 2: Перенесемо $v_{0x}$ в ліву частину з протилежним знаком:

\[v_x = v_{0x} + a_x t\]

Це і є рівняння залежності проекції швидкості від часу для рівноприскореного прямолінійного руху.

Це рівняння має вигляд лінійної функції $y = b + kx$, де $y$ - це $v_x$, $x$ - це $t$, $b$ - це $v_{0x}$ (початкове значення), а $k$ - це $a_x$ (кутовий коефіцієнт). Отже, графік залежності $v_x(t)$ - це пряма лінія.

Графік проекції швидкості ($v_x(t)$)

Якщо $a_x > 0$ (рух прискорений у напрямку осі OX), графік "йде вгору".
Якщо $a_x < 0$ (рух сповільнений або прискорений проти осі OX), графік "йде вниз".
Якщо $a_x = 0$, ми отримуємо рівномірний рух, і графік є горизонтальною лінією ($v_x = v_{0x}$).

Особливий момент на графіку - це коли він перетинає вісь часу ($t$). У цей момент $v_x = 0$. Це означає, що тіло зупинилося. Якщо після цього проекція швидкості змінює знак (наприклад, з додатної на від'ємну), це означає, що тіло змінило напрямок свого руху. Цей момент називається точкою розвороту.

Рівняння та графік проекції переміщення#

Переміщення ($\vec{s}$) - це вектор, що сполучає початкове положення тіла з його кінцевим положенням. При прямолінійному русі модуль переміщення дорівнює пройденому шляху, якщо тіло не змінювало напрямок руху.

Як нам знайти переміщення при рівноприскореному русі? Ми можемо скористатися однією важливою властивістю.

Для будь-якого прямолінійного руху проекція переміщення $s_x$ чисельно дорівнює площі фігури під графіком проекції швидкості $v_x(t)$.

Давайте подивимось на наш графік $v_x(t)$. Фігура під ним за час $t$ - це трапеція (або прямокутник, якщо рух рівномірний, чи трикутник, якщо $v_{0x}=0$).

Площа трапеції обчислюється за формулою: $S = \frac{a+b}{2}h$, де $a$ і $b$ - основи, а $h$ - висота. У нашому випадку:

Основи - це $v_{0x}$ та $v_x$.
Висота - це час $t$.

Отже, проекція переміщення:

\[ s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t \]

Ця формула корисна, коли нам невідоме прискорення, але відомо, що тіло рухається рівноприскорено. Величина $\frac{v_{0x} + v_x}{2}$ є середньою швидкістю при рівноприскореному русі.

Виведення основного рівняння переміщення#

Тепер давайте виведемо більш універсальну формулу. Ми підставимо в отримане рівняння для $s_x$ вираз для $v_x$ з рівняння швидкості ($v_x = v_{0x} + a_x t$).

Крок 1: Початкова формула:

\[s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t\]

Крок 2: Підставляємо $v_x$: $$s_x = \frac{v_{0x} + (v_{0x} + a_x t)}{2} t$$

Крок 3: Спрощуємо вираз у дужках:

\[s_x = \frac{2v_{0x} + a_x t}{2} t\]

Крок 4: Розділяємо дріб на два доданки:

\[s_x = (\frac{2v_{0x}}{2} + \frac{a_x t}{2}) t\]

\[s_x = (v_{0x} + \frac{a_x t}{2}) t\]

Крок 5: Розкриваємо дужки:

\[ s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} \]

Це і є основне рівняння залежності проекції переміщення від часу.

З цього рівняння ми бачимо, що залежність $s_x(t)$ є квадратичною. Графіком такої залежності є парабола.

Графік проекції переміщення ($s_x(t)$)

Якщо $a_x > 0$, вітки параболи напрямлені вгору.
Якщо $a_x < 0$, вітки параболи напрямлені вниз.
Вершина параболи відповідає точці розвороту ($v_x = 0$).

Формула переміщення без часу#

Іноді в задачах нам не дано час $t$, і знаходити його незручно. Давайте виведемо формулу, яка пов'язує переміщення, швидкість і прискорення без часу.

Крок 1: З рівняння швидкості $v_x = v_{0x} + a_x t$ виразимо час:

\[a_x t = v_x - v_{0x} \implies t = \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}\]

Крок 2: Підставимо цей вираз для $t$ у формулу $s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t$:

\[s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} \cdot \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}\]

Крок 3: Перепишемо цю формулу в дещо іншому вигляді:

\[s_x = \frac{v_x + v_{0x}}{2} \cdot \frac{v_x - v_{0x}}{a_x}\]

Крок 4: У чисельнику ми бачимо формулу різниці квадратів $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

\[s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}\]

Ця формула дуже корисна для розв'язування багатьох задач.

Рівняння координати (Рівняння руху)#

Ми знаємо, як знайти переміщення. Але часто нам потрібно знати не те, наскільки тіло перемістилося, а де саме воно знаходиться в певний момент часу. Для цього нам потрібна координата.

Переміщення пов'язане з початковою ($x_0$) та кінцевою ($x$) координатами наступним чином:

\[s_x = x - x_0\]

Звідси ми можемо виразити кінцеву координату:

\[x = x_0 + s_x\]

Тепер, якщо ми підставимо сюди основне рівняння для проекції переміщення ($s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$), ми отримаємо рівняння координати або рівняння руху:

\[ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} \]

Це рівняння є основною задачею механіки - воно дозволяє визначити положення тіла в будь-який момент часу.

Як і графік переміщення, графік залежності $x(t)$ також є параболою, але вона починається не з нуля (якщо $x_0 \neq 0$), а з точки початкової координати на осі ординат.

Алгоритм розв'язування задач із кінематики#

Коли ви стикаєтеся із задачею на рівноприскорений рух, може бути корисним дотримуватися певного алгоритму.

Уважно прочитайте умову задачі. З'ясуйте, який характер руху тіла (прискорений, сповільнений).
Запишіть коротку умову ("Дано"). Переведіть усі величини в систему СІ.
Зробіть малюнок. Покажіть на ньому тіло, вісь координат (напрямок осі обирайте так, щоб було зручно, зазвичай у напрямку початкового руху), вектори початкової швидкості, прискорення.
Запишіть основні рівняння руху в векторному вигляді, а потім у вигляді проекцій на обрану вісь.
- $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$
- $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$
Проаналізуйте рівняння. Підставте відомі з умови величини (не забуваючи про їхні знаки!).
Розв'яжіть отриману систему рівнянь відносно невідомої величини.
Проаналізуйте результат на реалістичність і запишіть відповідь.

Підсумок#

Поняття / Величина	Опис, Формули та Графіки
Рівноприскорений рух	Рух, під час якого тіло рухається вздовж прямої, і його швидкість за будь-які рівні проміжки часу змінюється на однакову величину. Ключова характеристика - стале прискорення $\vec{a} = \text{const}$.
Прискорення $\vec{a}$	Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості. Формула: $\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t}$ Проекція: $a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$ Одиниця в СІ: $\text{м}/\text{с}^2$ - Якщо знаки $a_x$ та $v_x$ збігаються - тіло розганяється. - Якщо знаки $a_x$ та $v_x$ протилежні - тіло гальмує.
Миттєва швидкість $v_x$	Рівняння залежності проекції швидкості від часу: $ v_x(t) = v_{0x} + a_x t $ Графік $v_x(t)$ - пряма лінія.
Переміщення $s_x$	Основні формули для розрахунку проекції переміщення: 1. Основне рівняння: $ s_x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $ 2. Через середню швидкість: $ s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t $ 3. Формула без часу: $ s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x} $ Графік $s_x(t)$ - парабола.
Координата / Рівняння руху $x(t)$	Дозволяє визначити положення тіла в будь-який момент часу. $ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} $ де $x_0$ - початкова координата Графік $x(t)$ - парабола.
Графіки руху	- Прискорення $a_x(t)$: Горизонтальна пряма, оскільки $a_x = \text{const}$. - Швидкість $v_x(t)$: Похила пряма (зростаюча при $a_x > 0$, спадна при $a_x < 0$). - Координата $x(t)$: Парабола (вітки вгору при $a_x > 0$, вітки вниз при $a_x < 0$).

Поняття / Величина	Опис, Формули та Графіки
Рівноприскорений рух	Рух, під час якого тіло рухається вздовж прямої, і його швидкість за будь-які рівні проміжки часу змінюється на однакову величину. Ключова характеристика - стале прискорення \(\vec{a} = \text{const}\).
Прискорення \(\vec{a}\)	Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості. Формула: \(\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t}\) Проекція: \(a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}\) Одиниця в СІ: \(\text{м}/\text{с}^2\) - Якщо знаки \(a_x\) та \(v_x\) збігаються - тіло розганяється. - Якщо знаки \(a_x\) та \(v_x\) протилежні - тіло гальмує.
Миттєва швидкість \(v_x\)	Рівняння залежності проекції швидкості від часу: \( v_x(t) = v_{0x} + a_x t \) Графік \(v_x(t)\) - пряма лінія.
Переміщення \(s_x\)	Основні формули для розрахунку проекції переміщення: 1. Основне рівняння: \( s_x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} \) 2. Через середню швидкість: \( s_x = \frac{v_{0x} + v_x}{2} t \) 3. Формула без часу: \( s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x} \) Графік \(s_x(t)\) - парабола.
Координата / Рівняння руху \(x(t)\)	Дозволяє визначити положення тіла в будь-який момент часу. \( x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} \) де \(x_0\) - початкова координата Графік \(x(t)\) - парабола.
Графіки руху	- Прискорення \(a_x(t)\): Горизонтальна пряма, оскільки \(a_x = \text{const}\). - Швидкість \(v_x(t)\): Похила пряма (зростаюча при \(a_x > 0\), спадна при \(a_x < 0\)). - Координата \(x(t)\): Парабола (вітки вгору при \(a_x > 0\), вітки вниз при \(a_x < 0\)).