Рух під дією сили тяжіння

Рух під дією сили тяжіння#

Сьогодні ми зануримось в одну з найцікавіших і найпрактичніших тем фізики - рух тіл поблизу поверхні Землі. Щодня ми бачимо, як падає яблуко, як летить кинутий м'яч або як стрибає спортсмен. Усі ці рухи, на перший погляд такі різні, підкоряються одним і тим самим законам.

Наша головна мета - навчитися описувати та передбачати такий рух. Для цього ми будемо працювати в інерціальній системі відліку, пов'язаній із Землею. Це означає, що ми вважаємо Землю нерухомою і всі рухи розглядаємо відносно неї. Примітка: Земля не є ідеальною інерціальною системою (оскільки вона обертається), але для більшості наших задач це наближення є цілком прийнятним.

Ключовим гравцем у цій темі є сила тяжіння. Це сила, з якою Земля притягує до себе всі тіла. Поблизу поверхні Землі цю силу (а отже, і прискорення, яке вона створює) можна вважати незмінною. Рух, що відбувається лише під дією сили тяжіння, називається вільним падінням.

Важливо зробити одне припущення: у всіх наших моделях ми будемо нехтувати опором повітря. Це ідеалізація, але вона дозволяє нам зрозуміти основні принципи руху.

Ключовою величиною для нашої теми є прискорення вільного падіння. Досліди, проведені ще Галілео Галілеєм, показали дивовижну річ: в умовах, де опір повітря незначний, усі тіла - і легка пір'їнка, і важка гиря - падають з однаковим прискоренням. Це прискорення називають прискоренням вільного падіння.

Прискорення вільного падіння \(\vec{g}\) - це прискорення, якого набуває тіло, рухаючись лише під дією сили тяжіння Землі.

Це векторна величина, яка має:

Напрямок: Завжди вертикально вниз, до центру Землі.
Модуль: Залежить від географічної широти та висоти над рівнем моря. Для розрахунків у шкільному курсі фізики його модуль зазвичай приймають рівним:

\[g \approx 9.8 \text{ м}/\text{с}^2\]

Це означає, що швидкість будь-якого тіла, що вільно падає, щосекунди збільшується на 9.8 м/с.

Часто для спрощення розрахунків використовують значення \(g \approx 10 \text{ м}/\text{с}^2\).

Оскільки \(\vec{g}\) є сталим вектором (не змінюється ні за модулем, ні за напрямком), то будь-який рух під дією сили тяжіння є рівноприскореним. Це чудова новина, бо ми можемо використовувати всі ті формули, які ми вже знаємо для рівноприскореного прямолінійного руху, трохи адаптувавши їх.

Ми розглянемо два основні випадки: рух по вертикалі та рух по кривій траєкторії.

Одновимірний рух: Рух тіла по вертикалі#

Це найпростіший випадок. Тіло рухається лише вгору або вниз уздовж прямої лінії. Наприклад, це падіння предмета або підкидання м'яча вертикально вгору.

Для опису цього руху ми введемо вісь координат OY, напрямлену вертикально вгору. Початок координат (нульову позначку) зазвичай розміщують на поверхні Землі або в початковій точці руху (для різних задач обирають по різному із точки зору зручності)

Оскільки вектор \(\vec{g}\) напрямлений вниз, а вісь OY - вгору, то проекція прискорення на цю вісь буде від'ємною:

\[ a_y = -g \]

Тепер давайте адаптуємо відомі нам рівняння рівноприскореного руху для цього випадку. Ми просто замінюємо \(x\) на \(y\) і \(a_x\) на \(a_y = -g\).

Рівняння проекції швидкості: \(v_y(t) = v_{0y} + a_y t\) перетворюється на:

\[ v_y(t) = v_{0y} - gt \]
Рівняння координати: \(y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2}\) перетворюється на:

\[ y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} \]
Формула для переміщення (висоти) без часу: \(s_y = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2a_y}\) перетворюється на:

\[ h_y = s_y = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{-2g} = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g} \]

Тут \(h_y = y - y_0\) - це переміщення по вертикалі, яке ми часто називаємо висотою.

Випадок 1: Вільне падіння без початкової швидкості#

Уявімо, що ми просто відпускаємо тіло з певної висоти \(h\). У цьому випадку:

Початкова висота \(y_0 = h\).
Початкова швидкість \(v_{0y} = 0\).

Наші рівняння спрощуються:

\(v_y(t) = -gt\) (знак "мінус" показує, що швидкість напрямлена вниз).
\(y(t) = h - \frac{gt^2}{2}\).

З рівняння для координати ми можемо знайти час падіння. Тіло досягне землі, коли його координата стане рівною нулю, \(y(t) = 0\).

\[ 0 = h - \frac{gt_{пад}^2}{2} \implies \frac{gt_{пад}^2}{2} = h \implies t_{пад} = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

А модуль швидкості в момент падіння буде:

\[ v_{кінц} = |-gt_{пад}| = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2h g^2}{g}} = \sqrt{2gh} \]

Цікава властивість:

При вільному падінні без початкової швидкості шляхи, пройдені тілом за послідовні рівні проміжки часу, відносяться як ряд непарних чисел.

\[ s_1 : s_2 : s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots \]

Давайте перевіримо це. Шлях за час \(t\) дорівнює \(s(t) = \frac{gt^2}{2}\).

Шлях за першу секунду (\(t=1\) c): \(s_1 = s(1) - s(0) = \frac{g \cdot 1^2}{2} = \frac{g}{2}\).
Шлях за другу секунду (\(t=2\) c): \(s_2 = s(2) - s(1) = \frac{g \cdot 2^2}{2} - \frac{g \cdot 1^2}{2} = \frac{4g}{2} - \frac{g}{2} = 3 \cdot \frac{g}{2}\).
Шлях за третю секунду (\(t=3\) c): \(s_3 = s(3) - s(2) = \frac{g \cdot 3^2}{2} - \frac{g \cdot 2^2}{2} = \frac{9g}{2} - \frac{4g}{2} = 5 \cdot \frac{g}{2}\).
І так далі...
Як бачимо, співвідношення \(s_1 : s_2 : s_3\) дійсно дорівнює \(1:3:5\).

Ця властивість справедлива не лише для вільного падіння без початкової швидкості, але й для будь-якого рівноприскореного руху без початкової швидкості.

Випадок 2: Рух тіла, кинутого вертикально вгору#

Тепер ми кидаємо тіло з початковою швидкістю \(v_0\) з поверхні землі (\(y_0 = 0\)).

Початкова швидкість \(v_{0y} = v_0\) (додатна, бо напрямлена вгору).

Рівняння руху:

\(v_y(t) = v_0 - gt\)
\(y(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}\)

Що відбувається з тілом?

Тіло летить вгору, його швидкість зменшується (\(v_y > 0\), але зменшується).
У найвищій точці траєкторії тіло на мить зупиняється. Це ключовий момент! У точці максимального підйому миттєва швидкість дорівнює нулю \(v_y = 0\).
Після цього тіло починає падати вниз, його швидкість стає від'ємною і зростає за модулем.

Тіло буде підніматися, поки його швидкість не стане рівною нулю. Цей момент відповідає максимальній висоті підйому \(h_{\max}\). Знайдемо час підйому \(t_{під}\) з умови \(v_y(t_{під}) = 0\):

\[ 0 = v_0 - gt_{під} \implies t_{під} = \frac{v_0}{g} \]

Тепер підставимо цей час у рівняння координати, щоб знайти \(h_{\max}\):

\[ h_{\max} = y(t_{під}) = v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{g v_0^2}{2g^2} = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g} \]

Ми могли б отримати цю ж формулу швидше, використовуючи рівняння без часу, поклавши \(v_y=0\):

\[ h_{\max} = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g} = \frac{v_0^2 - 0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g} \]

Час падіння з максимальної висоти буде таким же, як і час підйому (якщо нехтувати опором повітря). Отже, загальний час польоту \(t_{пол}\) дорівнює:

\[ t_{пол} = 2 t_{під} = \frac{2v_0}{g} \]

Двовимірний рух: Рух під кутом до горизонту#

А що, як ми кинемо тіло не строго вгору чи вниз, а, наприклад, горизонтально зі скелі або під кутом до горизонту, як футбольний м'яч? Такий рух буде криволінійним. Його траєкторія - не пряма лінія.

Тут нам на допомогу приходить фундаментальний принцип незалежності рухів:

Рух тіла можна розкласти на незалежні рухи вздовж осей прямокутної системи координат. Рух тіла вздовж однієї осі не впливає на його рух вздовж іншої.

Це означає, що наш складний криволінійний рух ми можемо розглядати як суму двох набагато простіших рухів:

Горизонтальний рух (вздовж осі OX): Оскільки сила тяжіння діє вертикально, по горизонталі на тіло не діють жодні сили (ми ж нехтуємо опором повітря). Це означає, що прискорення в цьому напрямку дорівнює нулю (\(a_x = 0\)). Отже, горизонтальний рух є рівномірним прямолінійним.
Вертикальний рух (вздовж осі OY): У цьому напрямку діє сила тяжіння, яка надає тілу стале прискорення \(\vec{g}\). Отже, вертикальний рух є рівноприскореним прямолінійним (таким самим, який ми щойно розглянули).

Аналогія: Уявіть, що ви одночасно відпускаєте один камінь, щоб він вільно падав, і кидаєте другий горизонтально з тієї ж висоти. Вони впадуть на землю одночасно! Тому що їхній вертикальний рух абсолютно однаковий і не залежить від того, чи рухаються вони по горизонталі.

Випадок 1: Тіло, кинуте горизонтально#

Припустимо, ми кидаємо тіло з висоти \(h\) з початковою швидкістю \(v_0\), напрямленою горизонтально. Розмістимо початок координат у точці кидка. Вісь OX напрямимо горизонтально, а вісь OY - вертикально вниз для зручності.

Початкові умови:

\(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\).
\(v_{0x} = v_0\).
\(v_{0y} = 0\).
\(a_x = 0\).
\(a_y = g\) (додатне, бо вісь OY напрямлена вниз, як і прискорення вільного падіння).

Запишемо рівняння руху для кожної осі:

Рух по осі OX (рівномірний):

\(v_x(t) = v_{0x} = v_0\) (швидкість незмінна)
\(x(t) = v_{0x} t = v_0 t\)

Рух по осі OY (рівноприскорений, вільне падіння):

\(v_y(t) = v_{0y} + a_y t = gt\)
\(y(t) = v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = \frac{gt^2}{2}\)

Час польоту: Тіло летить, поки не пролетить по вертикалі відстань \(h\). Знайдемо час з рівняння для \(y(t)\):

\[ h = \frac{g t^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Дальність польоту \(L\): Це максимальна відстань, яку тіло пролетіло по горизонталі. Знайдемо її, підставивши час польоту в рівняння для \(x(t)\):

\[ L = x(t) = v_0 t = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Випадок 2: Тіло, кинуте під кутом \(\alpha\) до горизонту#

Це найбільш загальний випадок. Тіло кидають з поверхні землі (\(y_0 = 0\)) зі швидкістю \(v_0\) під кутом \(\alpha\) до горизонту.

Спочатку нам потрібно розкласти початкову швидкість \(\vec{v_0}\) на компоненти вздовж осей OX та OY. Вісь OX - горизонтальна, OY - вертикальна, напрямлена вгору. З прямокутного трикутника маємо:

Проекція на вісь OX: \(v_{0x} = v_0 \cos \alpha\)
Проекція на вісь OY: \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha\)

Початкові умови та прискорення:

\(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\).
\(v_{0x} = v_0 \cos \alpha\).
\(v_{0y} = v_0 \sin \alpha\).
\(a_x = 0\).
\(a_y = -g\).

Запишемо рівняння руху:

Вісь OX (рівномірний рух)	Вісь OY (рівноприскорений рух)
\(v_x(t) = v_0 \cos \alpha\)	\(v_y(t) = v_0 \sin \alpha - gt\)
\(x(t) = (v_0 \cos \alpha) \cdot t\)	\(y(t) = (v_0 \sin \alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}\)

Тепер ми можемо знайти всі основні характеристики польоту.

1. Час польоту \(t\)

Політ закінчується, коли тіло повертається на землю, тобто \(y(t) = 0\).

\[ (v_0 \sin \alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2} = 0 \]

\[ t \cdot \left(v_0 \sin \alpha - \frac{gt}{2}\right) = 0 \]

Це рівняння має два розв'язки: \(t=0\) (момент кидка) і \(v_0 \sin \alpha - \frac{gt}{2} = 0\). Нас цікавить другий:

\[ v_0 \sin \alpha - \frac{gt}{2} = 0 \implies \frac{gt}{2} = v_0 \sin \alpha \implies t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} \]

Зауважте, що це та сама формула, що й \(t_{пол} = \frac{2v_{0y}}{g}\) для вертикального кидка.

2. Максимальна висота підйому \(h_{\max}\)

Підйом досягає максимуму, коли вертикальна складова швидкості стає нульовою, \(v_y = 0\). Час підйому \(t_{під}\) дорівнює половині всього часу польоту: \(t_{під} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}\).

Для знаходження \(h_{\max}\) використаємо формулу без часу для вертикального руху, де початкова швидкість \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha\), а кінцева \(v_y = 0\):

\[ h_{\max} = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g} = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2 - 0^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} \]

Ту ж саму формулу можна отримати, якщо підставити формулу для \(t_{під}\) у формулу \(y(t) = (v_0 \sin \alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}\).

3. Дальність польоту \(L\)

Це горизонтальна відстань, пройдена за весь час польоту \(t\).

\[ L = x(t) = (v_0 \cos \alpha) \cdot t = (v_0 \cos \alpha) \cdot \left(\frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\right) \]

\[ L = \frac{v_0^2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{g} \]

З тригонометрії ми знаємо формулу подвійного кута: \(\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha\). Використаємо її для спрощення:

\[ L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} \]

З цієї формули випливає цікавий висновок: максимальна дальність польоту при заданій початковій швидкості \(v_0\) досягається тоді, коли \(\sin(2\alpha)\) є максимальним, тобто дорівнює 1. Це відбувається при \(2\alpha = 90^\circ\), отже, при \(\alpha = 45^\circ\).

Інший важливий наслідок, із формули для \(L\) це те, що якщо кинути тіло під кутом \(\alpha\) до горизонту, а потім під кутом \(90^\circ - \alpha\), то дальність польоту не зміниться, хоча траєкторії польоту будуть різними. Наприклад, дальність польоту буде однакова, якщо кинути тіло під кутами \(30^\circ\) та \(60^\circ\).

Траєкторія руху:

Давайте виведемо рівняння траєкторії, тобто залежність \(y(x)\). Для цього з рівняння \(x(t)\) виразимо час \(t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}\) і підставимо його в рівняння \(y(t)\):

\[ y = (v_0 \sin \alpha) \left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{x}{v_0 \cos \alpha}\right)^2 \]

\[ y = (\text{tg} \alpha) \cdot x - \left(\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}\right) \cdot x^2 \]

Це рівняння виду \(y = Ax - Bx^2\), що є рівнянням параболи, вітки якої напрямлені вниз.

Миттєва швидкість:

У будь-який момент часу вектор швидкості \(\vec{v}\) має дві компоненти: \(v_x\) і \(v_y\). Його модуль (числове значення) можна знайти за теоремою Піфагора:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]

А напрямок (кут \(\beta\), який він утворює з горизонтом) можна знайти так:

\[ \text{tg} \beta = \frac{v_y}{v_x} \]

Підсумок#

Ми з вами розібрали, як рух під дією сили тяжіння, що здається складним, можна описати за допомогою простих принципів.

Головне - це стале прискорення \(\vec{g}\), напрямлене вниз.
Рух по вертикалі - це звичайний рівноприскорений рух.
Криволінійний рух - це сума двох незалежних рухів: рівномірного по горизонталі та рівноприскореного по вертикалі.

Ці знання дозволяють нам не просто спостерігати за польотом тіл, а й точно розраховувати їхні траєкторії, час польоту та дальність, що є основою для багатьох галузей, від спорту до космонавтики.

Тип руху / Поняття	Основні характеристики та поняття	Формули
Загальні положення	Вільне падіння: рух, що відбувається лише під дією сили тяжіння (опір повітря не враховується). Прискорення вільного падіння \(\vec{g}\): завжди напрямлене вертикально вниз. Рух є рівноприскореним.	Модуль: \(g \approx 9.8 \text{ м/с}^2\) (часто \(g \approx 10 \text{ м/с}^2\))
Рух по вертикалі	Вісь OY напрямлена вгору, тому проекція прискорення від'ємна.	\(a_y = -g\) \(v_y(t) = v_{0y} - gt\) \(y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}\) Висота (переміщення): \(h = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g}\)
Падіння без поч. швидкості	Тіло відпускають з висоти \(h\). Шляхи за послідовні рівні проміжки часу відносяться як ряд непарних чисел (1:3:5...).	Початкові умови: \(y_0 = h, v_{0y} = 0\) Час падіння: \(t_{пад} = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) Кінцева швидкість: \(v_{кінц} = \sqrt{2gh}\)
Кидок вертикально вгору	Тіло кидають з початковою швидкістю \(v_0\). У найвищій точці підйому миттєва швидкість дорівнює нулю (\(v_y = 0\)).	Початкові умови: \(y_0 = 0, v_{0y} = v_0\) Час підйому: \(t_{під} = \frac{v_0}{g}\) Максимальна висота: \(h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}\) Загальний час польоту: \(t_{пол} = \frac{2v_0}{g}\)
Рух під кутом до горизонту	Принцип незалежності рухів: рух розкладається на два незалежні: • Горизонтальний (вісь OX): рівномірний (\(a_x = 0\)) • Вертикальний (вісь OY): рівноприскорений (\(a_y = -g\))	Загальні: Миттєва швидкість: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) Рівняння траєкторії (парабола): \(y = (\text{tg} \alpha) \cdot x - (\frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}) \cdot x^2\)
Кидок горизонтально	Тіло кидають з висоти \(h\) зі швидкістю \(v_0\).	Початкові умови: \(v_{0x} = v_0, v_{0y} = 0\) Час польоту: \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) Дальність польоту: \(L = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}\)
Кидок під кутом \(\alpha\) до горизонту	Тіло кидають з поверхні зі швидкістю \(v_0\). Максимальна дальність досягається при куті \(\alpha = 45^\circ\). Дальність польоту при кутах \(\alpha\) та \(90^\circ - \alpha\) однакова.	Проекції поч. швидкості: \(v_{0x} = v_0 \cos \alpha\) \(v_{0y} = v_0 \sin \alpha\) Час польоту: \(t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}\) Макс. висота: \(h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}\) Дальність польоту: \(L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}\)