Внутрішня енергія

Внутрішня енергія#

Поняття внутрішньої енергії#

Задовго до створення молекулярно-кінетичної теорії дослідженням теплових процесів займалася термодинаміка. В основі термодинаміки лежить поняття внутрішньої енергії, про яку ми зараз і поговоримо.

Внутрішня енергія макроскопічного тіла визначається характером руху та взаємодії всіх мікрочастинок, з яких складається тіло.

Вона включає:

  • Кінетичну енергію хаотичного (теплового) руху частинок речовини (атомів, молекул, іонів);

  • Потенціальну енергію взаємодії частинок речовини;

  • Енергію взаємодії атомів у молекулах (хімічну енергію);

  • Енергію взаємодії електронів і ядер атомів (внутрішньоатомну енергію);

  • Енергію взаємодії нуклонів у ядрі (внутрішньоядерну енергію).

При розгляді теплових процесів особливу увагу приділяють зміні внутрішньої енергії, оскільки саме вона визначає перебіг термодинамічних процесів. На даному етапі нас цікавить зміна внутрішньої енергії, яка пов'язана саме з кінетичною енергією частинок і потенціальною енергією їх взаємодії.

Внутрішня енергія позначається символом \( U \), а її одиниця в міжнародній системі одиниць СІ — джоуль (Дж).

Особливості внутрішньої енергії ідеального газу

  1. Для ідеального газу частинки майже не взаємодіють між собою, тому внутрішня енергія визначається лише кінетичною енергією поступального та обертального руху.

  2. Внутрішня енергія пропорційна абсолютній температурі газу.

Виведення формули для внутрішньої енергії одноатомного газу#

  1. Середня кінетична енергія поступального руху атомів:

    \[ E_k = \frac{3}{2} kT \]

  2. Кількість атомів у даній масі газу:

    \[ N = \frac{m}{M} N_A \]

    де \(m\) — маса газу, \(M\) — молярна маса, \(N_A\) — число Авогадро.

  3. Загальна внутрішня енергія газу дорівнює добутку середньої кінетичної енергії на кількість атомів:

    \[ U = E_k \cdot N \]

  4. Підставляємо значення \(E_k\) і \(N\):

    \[ U = \frac{3}{2} kT \cdot \frac{m}{M} N_A \]

  5. Оскільки \(R = k N_A\) (газова стала), то отримаємо:

    \[ U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT \]

Формула внутрішньої енергії для одноатомного газу:

\[ U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT \]

Виведення альтернативної форми внутрішньої енергії#

  1. Рівняння стану ідеального газу:

    \[ pV = \frac{m}{M} RT \]

    де \(p\) — тиск, \(V\) — об'єм, \(T\) — температура, \(m\) — маса газу, \(M\) — молярна маса, \(R\) — газова стала.

  2. Внутрішня енергія одноатомного газу:

    \[ U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT \]

  3. Підставляємо значення \(\frac{m}{M} RT\) із рівняння стану в формулу для внутрішньої енергії:

\[ U = \frac{3}{2} pV \]

Таким чином, внутрішня енергія одноатомного ідеального газу може бути виражена через тиск і об'єм системи.

\[ U = \frac{3}{2} \frac{m}{M} RT = \frac{3}{2} pV \]

Ключові властивості внутрішньої енергії:

  • Внутрішня енергія є функцією стану системи, що означає її залежність від макроскопічних параметрів системи (тиску \(p\), об'єму \(V\), температури \(T\)). При цьому зміна внутрішньої енергії не залежить від шляху переходу системи з одного стану в інший.

  • Її зміна можлива двома способами: через виконання роботи та теплопередачу.

Код із прикладами#

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

# Внутрішня енергія ідеального газу (функція 1)
def internal_energy_temp(m, M, R, T):
    """
    Розрахунок внутрішньої енергії за формулою U = (3/2) * (m/M) * R * T
    m : маса газу (кг)
    M : молярна маса газу (кг/моль)
    R : газова стала (Дж/(моль*К))
    T : температура (К)
    """
    U = (3 / 2) * (m / M) * R * T
    return U

# Внутрішня енергія ідеального газу (функція 2)
def internal_energy_pv(p, V):
    """
    Розрахунок внутрішньої енергії за формулою U = (3/2) * p * V
    p : тиск (Па)
    V : об'єм (м³)
    """
    U = (3 / 2) * p * V
    return U

# Приклади використання
# Вводимо значення
m = 0.1  # маса газу в кг
M = 0.028  # молярна маса газу (наприклад, азот) у кг/моль
R = 8.314  # газова стала Дж/(моль*К)
T = 300  # температура у К

# Підставляємо значення/аргументи в функцію internal_energy_temp та зберігаємо результат в змінну U_temp (таким чином, розрахувавши значення внутрішньої енергії, що виражається в Дж)
U_temp = internal_energy_temp(m, M, R, T)

print(f"U_temp = {U_temp:.2f} Дж")

U_temp = 13361.79 Дж

p = 100000  # тиск у Па
V = 0.1  # об'єм у м³

U_pv = internal_energy_pv(p, V)

print(f"U_pv = {U_pv:.2f} Дж")

U_pv = 15000.00 Дж

Візуалізації#

# Інтерактивна візуалізація залежності від температури
T_values = np.linspace(200, 1000, 100)  # Температура від 200K до 1000K
U_temp_values = internal_energy_temp(m, M, R, T_values)

fig_temp = go.Figure()
fig_temp.add_trace(go.Scatter(x=T_values, y=U_temp_values, mode='lines', name='U(T)'))
fig_temp.update_layout(
    title='Залежність внутрішньої енергії від температури',
    xaxis_title='Температура (K)',
    yaxis_title='Внутрішня енергія (Дж)',
    template='plotly'
)

fig_temp.show()

# Інтерактивна візуалізація залежності від тиску
p_values = np.linspace(10000, 200000, 100)  # Тиск від 10 кПа до 200 кПа
V = 0.1  # Постійний об'єм у м³
U_p_values = internal_energy_pv(p_values, V)

fig_p = go.Figure()
fig_p.add_trace(go.Scatter(x=p_values, y=U_p_values, mode='lines', name='U(p)'))
fig_p.update_layout(
    title='Залежність внутрішньої енергії від тиску',
    xaxis_title='Тиск (Па)',
    yaxis_title='Внутрішня енергія (Дж)',
    template='plotly'
)

fig_p.show()

# Інтерактивна візуалізація залежності від об'єму
V_values = np.linspace(0.01, 1, 100)  # Об'єм від 0.01 м³ до 1 м³
p = 100000  # Постійний тиск у Па
U_v_values = internal_energy_pv(p, V_values)

fig_v = go.Figure()
fig_v.add_trace(go.Scatter(x=V_values, y=U_v_values, mode='lines', name='U(V)'))
fig_v.update_layout(
    title='Залежність внутрішньої енергії від обєму',
    xaxis_title='Обєм (м³)',
    yaxis_title='Внутрішня енергія (Дж)',
    template='plotly'
)

fig_v.show()