Сила Лоренца#
Ви, напевно, знаєте про існування Великого адронного колайдера, який розташований на прикордонній території між Швейцарією та Францією на глибині 100 метрів. Його називають "великим" через значну протяжність основного кільця - приблизно 27 кілометрів. Термін колайдер походить від англійського слова "collide" (зіштовхуватися), оскільки головне призначення цієї установки - розганяти адрони (зокрема протони) та іони до швидкостей, близьких до швидкості світла, забезпечуючи їх подальше зіткнення. Принцип прискорення заряджених частинок, причини кільцеподібної форми прискорювача та роль магнітного поля в процесі прискорення заряджених частинок будемо розглядати нижче.
Невеликий віртуальний тур Великим адронним колайдером
Як визначити силу Лоренца#
Магнітне поле впливає на провідник зі струмом, створюючи силу Ампера, яка визначається за формулою: \(F_A = BIl\sin\alpha\), де \(B\) представляє магнітну індукцію поля навколо провідника; \(I\) позначає силу струму, що проходить через провідник; \(l\) відповідає за довжину активної ділянки провідника; \(\alpha\) - кут між напрямком вектора магнітної індукції та напрямком електричного струму. Оскільки електричний струм являє собою спрямований потік заряджених частинок, виникнення сили Ампера пояснюється впливом магнітного поля на окремі заряджені частинки, що переміщуються в провіднику.
Силою Лоренца називають силу, з якою магнітне поле впливає на заряджену частинку, що рухається.
Названо цю силу на честь видатного нідерландського вченого-фізика Гендріка Антона Лоренца (1853–1928), який сформулював математичний вираз для її обчислення. Щоб визначити величину сили Лоренца, необхідно розрахувати силу Ампера, що припадає на кожну окрему заряджену частинку, яка бере участь у створенні струму в провіднику:
Загальна кількість частинок \(N\) обчислюється як добуток концентрації частинок \(n\) на об'єм провідника \(V\):
де \(S\) - площа поперечного перерізу провідника.
Струм у провіднику можна виразити формулою
де \(v\) - середня швидкість зарядженої частинки у провіднику, \(q\) - заряд частинки (виведення цієї формули дивіться ось тут: Електричний струм у металах). Таким чином,
Після математичного спрощення отримуємо формулу для розрахунку модуля сили Лоренца:
\[F_L = |q|vB\sin\alpha\]
де \(\alpha\) позначає кут між векторами швидкості частинки та магнітної індукції поля.
Для визначення напрямку дії сили Лоренца застосовують правило лівої руки: розташуйте ліву руку так, щоб лінії магнітної індукції входили в долоню, чотири випрямлені пальці вказували напрямок руху позитивно зарядженої частинки (або, щоб чотири пальці вказували напрямок, який є протилежним до напрямку руху негативно зарядженої частинки), тоді відведений на 90° великий палець покаже напрямок сили Лоренца.
Як рухаються заряджені частинки під дією сили Лоренца#
Особливістю сили Лоренца є її перпендикулярність до вектора швидкості руху частинки. Через це вона не здійснює роботу і не змінює кінетичну енергію частинки. Заряджена частинка під впливом сили Лоренца зберігає рівномірність руху. Проте форма траєкторії руху частинки залежить від кута входження частинки в магнітне поле та від однорідності цього поля.
Можливі випадки руху зарядженої частинки в однорідному магнітному полі#
Частинка входить у магнітне поле паралельно до ліній магнітної індукції.
У такій ситуації кут \(\alpha\) між векторами швидкості \(\vec{v}\) та магнітної індукції \(\vec{B}\) становить нуль (або 180°). Оскільки \(\sin\alpha = 0\), то сила Лоренца дорівнює нулю: \(F_L = |q|vB\sin\alpha = 0\). Отже, магнітне поле не впливає на частинку, і за відсутності інших сил, частинка продовжує рухатись рівномірно прямолінійно вздовж ліній магнітної індукції.
Частинка входить у магнітне поле під прямим кутом до ліній магнітної індукції.
У цьому випадку \(\alpha = 90°\) (\(\vec{v} \perp \vec{B}\)), тому \(F_L = |q|vB\), адже \(\sin\alpha = 1\). Частинка здійснює рівномірний рух по колу в площині, перпендикулярній до ліній магнітної індукції, при цьому сила Лоренца забезпечує доцентрове прискорення \(\vec{a}_дц\). Відповідно до другого закону Ньютона: \(F_L = m a_{дц}\), звідси
\[|q|vB = m \frac{v^2}{R}\]На основі цього визначаємо радіус \(R\) кругової траєкторії та період обертання \(T\):
\[R |q|vB = m v^2\]\[R |q|B = m v\]\[R = \frac{mv}{|q|B}\]\[T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{|q|B}\]Важливо відзначити, що період обертання частинки залишається незмінним незалежно від її швидкості та радіуса траєкторії.
Частинка входить у магнітне поле під певним кутом \(\alpha\) до ліній магнітної індукції.
У цьому випадку вектор швидкості \(\vec{v}\) частинки можна розкласти на дві компоненти: компонента \(\vec{v}_{\parallel}\), паралельна лініям магнітної індукції, яка відповідає за переміщення вздовж цих ліній; та компонента \(\vec{v}_{\perp}\), перпендикулярна до ліній магнітної індукції, яка змушує частинку рухатись по колу з періодом \(T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}} = \frac{2\pi m}{|q|B}\).
У результаті частинка рухається по гвинтовій траєкторії, де крок \(h\) (відстань між сусідніми витками) визначається компонентою \(\vec{v}_{\parallel}\): \(h = v_{\parallel}T\), а радіус витка - компонентою \(\vec{v}_{\perp}\): \(R = \frac{mv_{\perp}}{|q|B}\).
Де застосовують силу Лоренца#
Незалежність періоду обертання зарядженої частинки в однорідному магнітному полі від швидкості руху та радіуса траєкторії використовується в роботі циклотронів. За своєю сутністю циклотрон представляє вакуумну камеру, розміщену між полюсами потужного електромагніту. Усередині камери встановлено два порожнисті металеві півциліндри (дуанти). На ці дуанти подається змінна напруга, яка періодично прискорює частинки. Частота зміни напруги узгоджена з періодом обертання частинки в магнітному полі.
Рис. Схема циклотрона. Автор: Denysmyroniuk - Власна робота, CC BY-SA 4.0, Посилання
Частинки з джерела надходять усередину дуантів і рухаються по півколових траєкторіях під впливом сили Лоренца. У проміжку між дуантами відбувається прискорення частинок електричним полем. Зі збільшенням швидкості частинки зростає радіус півкола: \(R = \frac{mv}{|q|B}\), але час проходження півкола \(t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{|q|B}\) залишається незмінним при зростанні швидкості. При періодичній зміні напруги на дуантах частинки, що потрапляють у резонанс, отримують додаткове прискорення при кожному проходженні.
Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі лежить в основі мас-спектрометрів - пристроїв, які дозволяють вимірювати питомий заряд частинки \(\frac{|q|}{m}\) та здійснювати її ідентифікацію.