Механіка та кінематика

Механіка та кінематика#

Основи механіки#

Механіка - це розділ фізики, що вивчає закономірності механічного руху тіл, а також взаємодії, що його спричиняють. Простіше кажучи, механіка пояснює, як і чому тіла рухаються. Це одна з найдавніших наук, основи якої заклали ще Галілео Галілей та Ісаак Ньютон.

Основна задача механіки - визначити положення тіла в просторі в будь-який момент часу. Знаючи початкове положення тіла, його швидкість та сили, що на нього діють, можна розрахувати, де воно буде знаходитись і як рухатиметься у майбутньому. Щоб розв'язати цю задачу, необхідно знати закони руху та початкові умови (положення та швидкість тіла в початковий момент часу).

Механіка традиційно поділяється на три основні розділи:

Кінематика: Це розділ механіки, який вивчає рух тіл, але не розглядає причини, якими цей рух викликаний. Кінематика відповідає на питання "Як рухається тіло?". Вона оперує такими поняттями, як швидкість, прискорення, переміщення.
Динаміка: Цей розділ вивчає рух тіл у зв'язку з причинами, що його викликали, тобто під дією сил. Динаміка відповідає на питання "Чому тіло рухається саме так?". Вона оперує поняттями маси, сили, імпульсу, енергії.
Статика: Вивчає умови рівноваги тіл, тобто умови, за яких тіла перебувають у стані спокою. Наприклад, закони статики дозволяють розрахувати, які сили діють на балки мосту, щоб він залишався нерухомим під навантаженням.

Ключові поняття кінематики#

Механічний рух - це зміна з часом положення тіла в просторі відносно інших тіл. Наприклад, автомобіль рухається відносно дороги, планети рухаються відносно Сонця, а учень йде відносно будівлі школи. Важливо, що будь-який рух є відносним.

Щоб описати рух, нам завжди потрібно вказати, відносно чого цей рух відбувається.

Тіло відліку - це тіло, яке умовно вважається нерухомим і відносно якого вивчається рух інших тіл. За тіло відліку можна обрати будь-який об'єкт: дерево на узбіччі, вокзал, Землю або навіть Сонце.
Система відліку (СВ) - це сукупність, що включає тіло відліку, пов'язану з ним систему координат (наприклад, одновимірну, двовимірну чи тривимірну) та прилад для вимірювання часу (годинник). Саме в системі відліку ми можемо точно описати рух за допомогою математичних рівнянь.

Різниця між цими поняттями полягає в тому, що тіло відліку є лише частиною системи відліку, яка є більш комплексним інструментом для опису руху.

Дуже часто розміри тіла є несуттєвими порівняно з відстанями, які воно долає. У таких випадках для спрощення розрахунків використовують модель матеріальної точки.

Матеріальна точка - це тіло, розмірами, формою та внутрішньою структурою якого в умовах даної задачі можна знехтувати.

Коли можна вважати тіло матеріальною точкою?

Коли його розміри значно менші за відстані, які воно долає, або за відстані до інших тіл.
Приклад: Коли ми розраховуємо рух Землі навколо Сонця, розміри Землі (діаметр близько 12 756 км) несуттєві порівняно з радіусом її орбіти (близько 150 млн км). У цьому випадку Землю можна вважати матеріальною точкою. Однак, коли ми вивчаємо обертання Землі навколо власної осі, її розміри є принципово важливими, і вважати її матеріальною точкою не можна.

Траєкторія - це уявна лінія, яку описує тіло (матеріальна точка) під час свого руху в просторі. Прикладом видимої траєкторії є білий слід, що залишає літак у небі, або лінія від крейди на дошці.

Шлях \(l\) та Переміщення \(\vec{s}\)#

Ці два поняття часто плутають, але вони мають різний фізичний зміст.

Шлях \(l\) - це фізична величина, що дорівнює довжині траєкторії, пройденої тілом за певний проміжок часу.

Це скалярна величина, тобто вона має лише числове значення і не має напрямку.
Шлях завжди є додатною величиною \(l \ge 0\).
Одиниця вимірювання в СІ: метр (м).

Переміщення \(\vec{s}\) - це вектор, що сполучає початкове положення тіла з його кінцевим положенням.

Це векторна величина, тобто вона має і числове значення (модуль), і напрямок.
Модуль переміщення \(s\) - це довжина відрізка, що з'єднує початкову і кінцеву точки руху.
Одиниця вимірювання модуля переміщення в СІ: метр (м).

Порівняння шляху та модуля переміщення:

Модуль переміщення ніколи не може бути більшим за пройдений шлях.
Шлях дорівнює модулю переміщення \(l = s\) лише в одному випадку: коли тіло рухається прямолінійно і в одному напрямку.
Якщо тіло повернулося в початкову точку (наприклад, футболіст пробіг коло по стадіону і повернувся на старт), його переміщення дорівнює нулю \(\vec{s} = 0\), хоча шлях буде дорівнювати довжині кола \(l = 2\pi R\).

Приклад: Уявіть, що ви вийшли з дому (точка А), дійшли до магазину (точка Б), а потім повернулися додому.

Траєкторія: шлях від дому до магазину і назад.
Шлях \(l\): сума відстаней "дім-магазин" та "магазин-дім". Якщо відстань до магазину 500 м, то шлях \(l = 500 \text{ м} + 500 \text{ м} = 1000 \text{ м}\).
Переміщення \(\vec{s}\): оскільки ваше початкове і кінцеве положення збігаються (ви повернулися додому), вектор переміщення є нульовим: \(\vec{s} = \vec{0}\).
Модуль переміщення \(s\): \(s = 0\) м.

Приклад: Автомобіль проїхав по прямій дорозі 3 км на схід, а потім повернув і проїхав 4 км на північ.

Шлях \(l\) = 3 км + 4 км = 7 км.
Переміщення \(\vec{s}\) - це вектор, напрямлений з точки старту до точки фінішу. Його модуль \(s\) можна знайти за теоремою Піфагора, оскільки рух автомобіля на схід, а потім на північ формує два катети прямокутного трикутника, а нам необхідно знайти гіпотенузу: \(s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) км.

Таблиця-порівняння:

Характеристика	Шлях \(l\)	Переміщення \(\vec{s}\)
Тип величини	Скалярна	Векторна
Що характеризує?	Довжину траєкторії	Зміну положення тіла
Напрямок	Немає	Є (від початкової до кінцевої точки)
Значення	Завжди невід'ємний \(l \ge 0\)	Модуль завжди невід'ємний, проекція може бути від'ємною
Умова рівності	\(l=s\) тільки при прямолінійному русі в одному напрямку

Відносність механічного руху:

Траєкторія, шлях, переміщення та швидкість руху залежать від вибору системи відліку. Це і є відносність руху.
Приклад: Для пасажира, що сидить у потязі, книги на столі нерухомі. Але для людини на пероні ці книги рухаються разом із потягом.

Класифікація механічних рухів#

Механічні рухи класифікують за формою траєкторії

Прямолінійний рух - це рух, траєкторією якого є пряма лінія. Наприклад, рух автомобіля по прямій ділянці шосе.
Криволінійний рух - це рух, траєкторією якого є крива лінія. Наприклад, рух Землі навколо Сонця або рух автомобіля на повороті.

Механічні рухи також класифікують за характером зміни швидкості

Швидкість - це векторна фізична величина, що характеризує стрімкість зміни положення тіла в просторі і дорівнює відношенню переміщення до часу, за який це переміщення відбулося.

\[\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}\]

Одиниця вимірювання в СІ: метр за секунду (позначається як м/с або \(\frac{\text{м}}{\text{с}}\)).

Залежно від того, як змінюється швидкість, рух поділяють на рівномірний рух та нерівномірний рух.

Рівномірний рух - це рух, під час якого тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення (долає однаковий шлях).

При такому русі швидкість тіла є сталою за модулем і напрямком \(\vec{v} = \text{const}\).
Прикладом руху зі сталою за модулем швидкістю є рух ескалатора в метро. Іноді як приклад наводять рух Землі по орбіті, однак, хоча модуль її швидкості майже незмінний (особливо, якщо брати не всю траєкторію руху Землі, а окремі відносно невеликі ділянки), напрямок її руху постійно змінюється, тому цей рух є криволінійним, а не прямолінійним.

Рівняння рівномірного прямолінійного руху:

Якщо тіло рухається вздовж осі ОХ, його координату в будь-який момент часу \(t\) можна знайти за формулою:

\[x(t) = x_0 + v_x t\]

де:

\(x(t)\) - координата тіла в момент часу \(t\).
\(x_0\) - початкова координата тіла в момент \(t=0\).
\(v_x\) - проекція швидкості на вісь ОХ (може бути додатною, якщо рух в напрямку осі, і від'ємною, якщо рух проти осі).

Це рівняння є розв'язком основної задачі механіки для даного типу руху.

Нерівномірний рух - це рух, під час якого тіло за рівні проміжки часу долає різний шлях.

При такому русі швидкість тіла змінюється з часом.
Приклад: рух автобуса, який розганяється, гальмує і зупиняється. Більшість рухів у нашому житті є нерівномірними. Для опису нерівномірного руху використовують поняття середньої та миттєвої швидкості. Над вивченням нерівномірного руху зі сталим прискоренням (рівноприскореного руху) ми попрацюємо трохи згодом.

Як перевести км/год в м/с та навпаки?#

У фізиці основною одиницею вимірювання швидкості в системі СІ є метр за секунду (м/с). Однак у повсякденному житті, наприклад, для вимірювання швидкості автомобіля, значно зручніше використовувати кілометри на годину (км/год). Тому дуже важливо вміти швидко і правильно переводити значення з одних одиниць в інші.

Щоб вивести формулу перетворення, потрібно згадати, скільки метрів в одному кілометрі та скільки секунд в одній годині.

1 кілометр (км) = 1000 метрів (м)
1 година (год) = 60 хвилин = 60 \(\cdot\) 60 секунд = 3600 секунд (с)

Тепер розглянемо, що означає швидкість 1 км/год. Це означає, що тіло долає відстань 1 км за проміжок часу 1 година. Підставимо у це співвідношення значення в метрах та секундах:

\[ 1\frac{\text{км}}{\text{год}} = \frac{1 \text{ км}}{1 \text{ год}} = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \]

Тепер можна скоротити цей дріб:

\[ \frac{1000}{3600} = \frac{10}{36} \]

На цьому моменті ми запишемо "триповерховий" дріб (10 перенесемо із чисельника в знаменник):

\[ \frac{1000}{3600} = \frac{1}{\frac{36}{10}} = \frac{1}{3.6} \]

Тобто,

\[ 1 \frac{\text{км}}{\text{год}} = \frac{1}{3.6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \]

Таким чином, ми отримуємо правило:

Щоб перевести швидкість із км/год в м/с, потрібно її значення поділити на 3.6.

Формула:

\[ v \left( \frac{\text{м}}{\text{с}} \right) = \frac{v \left( \frac{\text{км}}{\text{год}} \right)}{3.6} \]

Приклад:

Переведемо швидкість автомобіля 72 км/год в м/с.

\[ v = 72 \frac{\text{км}}{\text{год}} = \frac{72}{3.6} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}} \]

Отже, швидкість 72 км/год еквівалентна швидкості 20 м/с.

Для зворотного перетворення нам потрібно виконати обернену математичну операцію. Якщо для переведення з км/год в м/с ми ділили на 3.6, то для зворотного перетворення потрібно множити.

Виведемо це з основних одиниць:

1 м = \(\frac{1}{1000}\) км
1 с = \(\frac{1}{3600}\) год

Підставимо ці значення у швидкість 1 м/с:

\[ 1 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ с}} = \frac{\frac{1}{1000} \text{ км}}{\frac{1}{3600} \text{ год}} = \frac{1}{1000} \cdot \frac{3600}{1} \frac{\text{км}}{\text{год}} = \frac{3600}{1000} \frac{\text{км}}{\text{год}} = 3.6 \frac{\text{км}}{\text{год}} \]

Звідси отримуємо правило:

Щоб перевести швидкість із м/с в км/год, потрібно її значення помножити на 3.6.

Формула:

\[ v \left( \frac{\text{км}}{\text{год}} \right) = v \left( \frac{\text{м}}{\text{с}} \right) \cdot 3.6 \]

Приклад: Переведемо швидкість бігуна 10 м/с в км/год.

\[ v = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 10 \cdot 3.6 \frac{\text{км}}{\text{год}} = 36 \frac{\text{км}}{\text{год}} \]

Отже, швидкість 10 м/с еквівалентна швидкості 36 км/год.

Підсумок#

Поняття	Визначення	Формула / Ключові характеристики	Приклад
Розділи механіки
Кінематика	Вивчає, як рухається тіло, не розглядаючи причин руху.	Оперує поняттями: переміщення, швидкість, прискорення.	Розрахунок часу, за який автомобіль проїде певну відстань.
Динаміка	Вивчає, чому тіло рухається, розглядаючи дію сил.	Оперує поняттями: сила, маса, енергія, імпульс.	Визначення сили, необхідної для розгону тіла до певної швидкості.
Статика	Вивчає умови рівноваги тіл.	Розглядає умови, за яких тіло перебуває у стані спокою.	Розрахунок навантажень на опори мосту.
Основні поняття для опису руху
Механічний рух	Зміна положення тіла в просторі відносно інших тіл із часом.	Рух завжди є відносним.	Рух потяга відносно станції.
Система відліку (СВ)	Сукупність тіла відліку, пов'язаної з ним системи координат та годинника.	Необхідна для математичного опису руху.	Земля, система координат XYZ та секундомір.
Матеріальна точка	Модель тіла, розмірами якого можна знехтувати в умовах задачі.	Використовується, коли розміри тіла значно менші за пройдену відстань.	Планета під час руху навколо Сонця.
Траєкторія	Уявна лінія, яку описує тіло під час руху.	Може бути прямою або кривою лінією.	Слід від літака в небі.
Ключові фізичні величини
Шлях \(l\)	Довжина траєкторії, пройденої тілом.	Скалярна величина, завжди \(l \ge 0\). Одиниця в СІ: метр (м).	Автомобіль проїхав 10 км.
Переміщення \(\vec{s}\)	Вектор, що з'єднує початкове та кінцеве положення тіла.	Векторна величина (має модуль і напрямок). Одиниця в СІ: метр (м).	Спортсмен перемістився на 100 м на схід.
Порівняння \(l\) та \(s\)	Шлях і модуль переміщення	\(l \ge s\). Рівність \(l=s\) виконується тільки при прямолінійному русі в одному напрямку.	Людина пройшла коло (шлях \(>0\), переміщення \(=0\)).
Види руху та швидкість
Швидкість \(\vec{v}\)	Векторна величина, що характеризує стрімкість зміни положення тіла.	\(\vec{v} = \frac{\vec{s}}{t}\) Одиниця в СІ: метр за секунду (м/с).	Швидкість автомобіля 60 км/год.
Прямолінійний рух	Рух, траєкторією якого є пряма лінія.	Напрямок швидкості не змінюється.	Падіння яблука з дерева.
Криволінійний рух	Рух, траєкторією якого є крива лінія.	Напрямок швидкості постійно змінюється.	Рух автомобіля на повороті.
Рівномірний рух	Рух зі сталою за модулем і напрямком швидкістю.	\(\vec{v} = \text{const}\) За будь-які рівні проміжки часу тіло долає однаковий шлях.	Рух ескалатора в метро.
Нерівномірний рух	Рух зі змінною швидкістю.	\(v \neq \text{const}\) За рівні проміжки часу тіло долає різний шлях.	Рух автобуса, що стартує із зупинки.
Рівняння руху
Рівномірний прямолінійний рух	Рівняння, що дозволяє визначити положення тіла в будь-який момент часу.	\(x(t) = x_0 + v_x t\) \(x(t)\) - кінцева координата, \(x_0\) - початкова координата, \(v_x\) - проекція швидкості на вісь OX.	Визначення координати велосипедиста через 10 с після початку руху.
Переведення одиниць швидкості	Правила конвертації між км/год та м/с.	Щоб перевести \(\frac{\text{км}}{\text{год}} \rightarrow \frac{\text{м}}{\text{с}}\), треба поділити на 3.6 Щоб перевести \(\frac{\text{м}}{\text{с}} \rightarrow \frac{\text{км}}{\text{год}}\), треба помножити на 3.6	\(90 \frac{\text{км}}{\text{год}} = \frac{90}{3.6} = 25 \frac{\text{м}}{\text{с}}\) \(15 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 15 \cdot 3.6 = 54 \frac{\text{км}}{\text{год}}\)