Механічні коливання

Механічні коливання#

Що таке механічні коливання?#

Уявімо собі гойдалку. Коли ми її відхиляємо і відпускаємо, вона починає рухатися туди-сюди. Або вантаж на пружині: якщо його відтягнути вниз і відпустити, він буде рухатися вгору-вниз. Обидва ці приклади ілюструють коливальний рух.

Механічні коливання - це рухи, які точно або приблизно повторюються через однакові проміжки часу, при цьому тіло багаторазово проходить положення стійкої рівноваги.

Ключовим для розуміння коливань є поняття положення рівноваги.

Положення рівноваги - це такий стан системи, в якому тіло може перебувати як завгодно довго без зовнішніх впливів.

У цьому положенні рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю. Для гойдалки - це її найнижче положення. Для вантажу на пружині, що коливається горизонтально, - це положення, де пружина не деформована. Для вантажу, що коливається вертикально під дією сили тяжіння, - це положення, де сила пружності пружини зрівноважує силу тяжіння. Коли тіло виводять з положення рівноваги, виникає сила, яка намагається повернути його назад. Саме ця "повертаюча" сила і змушує тіло рухатись туди-сюди, тобто коливатися. Сукупність тіл, здатних до коливань, називають коливальною системою. Коливальний рух завжди відбувається навколо положення рівноваги.

Коливальний рух#

Як і будь-який інший вид руху, коливальний рух описується фундаментальними фізичними параметрами: швидкістю, прискоренням та координатою (або зміщенням).

Зміщення \(x\) визначається як відстань між положенням рівноваги та поточним положенням тіла, що здійснює коливальний рух, у конкретний момент часу. Одиниця в СІ: метр (м).

Під час коливань механічний стан тіла постійно змінюється. Коливання називають періодичними, коли координата, величина та напрямок швидкості руху тіла регулярно повторюються через однакові інтервали часу.

Для характеристики періодичних коливань використовують кілька специфічних фізичних величин: амплітуду, період та частоту.

Амплітуда коливань (\(A\)) - це максимальне відхилення тіла від положення рівноваги, тобто \(A = x_{max}\). Амплітуда механічних коливань вимірюється в метрах (м).

Наприклад, якщо гойдалку відхилили на 1.5 метра від найнижчої точки і відпустили, то амплітуда її коливань (принаймні, на початку) буде 1.5 м.

Період коливань (\(T\)) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Одиницею періоду в СІ є секунда (с).

Період обчислюється за формулою

\[T = \frac{t}{N}\]

де \(t\) - загальний час спостереження, а \(N\) - кількість коливань за цей час.

Частота коливань (\(\nu\)) - кількість коливань за одиницю часу. Одиницею частоти в СІ є герц (Гц), що відповідає одному коливанню за секунду. Частота розраховується за формулою:

\[\nu = \frac{N}{t}\]

Частота і період пов'язані між собою оберненою залежністю:

\[\nu = \frac{1}{T}\]

Це означає, що чим більший період (довше триває одне коливання), тим менша частота (менше коливань відбувається за секунду), і навпаки.

Незатухаючі та затухаючі коливання#

Проаналізуємо коливання вантажу на пружині. В ідеальній системі «вантаж - пружина - Земля», де відсутні втрати механічної енергії, коливання тривали б нескінченно довго з незмінною амплітудою. Коливання, при яких амплітуда залишається постійною з плином часу, класифікують як незатухаючі.

Незатухаючі коливання - це ідеалізовані коливання, амплітуда яких з часом не змінюється. Такі коливання могли б існувати лише в системах без тертя та опору середовища.

Однак у реальних фізичних системах завжди присутні втрати енергії. Енергія витрачається на подолання сил тертя та деформації тіл під час коливального руху. Внаслідок цього механічна енергія поступово перетворюється на внутрішню теплову енергію. Тому, якщо система не отримує енергію із зовнішніх джерел, амплітуда коливань поступово зменшується, і з часом коливання припиняються. Коливання, амплітуда яких з часом зменшується, називаються затухаючими.

Затухаючі коливання - це реальні коливання, амплітуда яких з часом зменшується через втрати енергії (наприклад, на тертя).

Вільні та вимушені коливання, автоколивання#

Існує декілька типів механічних коливань з різними характеристиками. Деякі коливання можуть відбуватися без періодичного зовнішнього впливу. Прикладом таких коливань є рух кульки, підвішеної на нитці або на пружині, після її початкового відхилення від положення рівноваги і відпускання. Такі коливання називають вільними.

Вільні (власні) коливання - це коливання, що виникають у системі під дією її внутрішніх сил після того, як її було виведено з положення рівноваги.

Прикладом є коливання тягарця на пружині після того, як ми його відтягнули і відпустили. Систему, в якій можуть відбуватися вільні коливання, називають коливальною системою. Частоту вільних коливань називають власною частотою системи. Частота вільних коливань залежить від конструктивних особливостей та параметрів самої системи.

Як зазначено вище, фізичну систему, здатну здійснювати вільні коливання, називають коливальною системою. Ключовою характеристикою будь-якої коливальної системи є наявність положення стійкої рівноваги. Саме навколо цього положення відбуваються вільні коливання. Для виникнення вільних коливань необхідно забезпечити дві умови:

  • надати системі додаткову енергію (потенціальну або кінетичну);

  • забезпечити достатньо малий коефіцієнт тертя в системі, інакше коливання швидко згаснуть або взагалі не виникнуть.

Оскільки при вільних коливаннях система не отримує додаткової енергії ззовні, вільні коливання завжди є затухаючими. Інтенсивність затухання прямо пропорційна величині тертя в системі. Наприклад, якщо змусити одне й те саме тіло коливатися в повітрі та у воді, то в повітрі коливання триватимуть значно довше через менший опір середовища, а у воді вони швидко затухнуть. Цей принцип використовується в конструкції гідравлічних амортизаторів автомобілів.

Вимушені коливання - це коливання, які відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили. Частота вимушених коливань дорівнює частоті зміни цієї зовнішньої сили.

Вимушені коливання зазвичай є незатухаючими, а їхня частота відповідає частоті зміни зовнішньої сили, що спричиняє коливання. Коли ми розгойдуємо гойдалку, періодично її підштовхуючи, ми створюємо вимушені коливання. Іншими прикладами є рух повітря в духових інструментах або поршня в двигуні внутрішнього згоряння.

Існують також особливі системи, в яких незатухаючі коливання підтримуються не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а завдяки здатності самої системи регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називають автоколивальними, а незатухаючі коливання в них - автоколиваннями.

Автоколивання - це незатухаючі коливання, які система підтримує самостійно за рахунок постійного (неколивального) джерела енергії. Система сама регулює надходження енергії для компенсації втрат. Класичний приклад - механічний годинник з маятником, де енергія стиснутої пружини або піднятого тягарця порціями передається маятнику. Такі системи називаються автоколивальними.

Частота автоколивань, як і у випадку вільних коливань, визначається властивостями самої системи. Практично будь-яка автоколивальна система складається з трьох основних компонентів:

  1. Коливальна система, в якій можуть виникати вільні коливання (наприклад, маятник годинника). Це власне те, що коливається (маятник, струна, коливальний контур).

  2. Джерело енергії - постійне (неколивальне) джерело, що живить систему (наприклад, заведена пружина, піднята гиря, батарейка).

  3. Пристрій зворотного зв'язку (регулятор (клапан) зі зворотним зв'язком) регулює подачу енергії від джерела певними порціями. Це найхитріший елемент. Він відкриває доступ енергії від джерела до коливальної системи маленькими порціями і саме в потрібний момент часу. Цим "клапаном" керує сама коливальна система.

Приклади:

  1. Механічний годинник з маятником

    Це класичний приклад автоколивальної системи, який ми часто бачимо у старих годинниках.

    • Джерело енергії: Піднята гиря або заведена пружина, яка має потенціальну енергію.

    • Коливальна система: Маятник, що коливається з власною, чітко визначеною частотою.

    • Регулятор (клапан): Анкерний механізм. Це спеціальна вилка, з'єднана з маятником, і храпове колесо (колесо із зубцями особливої форми). Коли маятник проходить через положення рівноваги, анкерний механізм на мить звільняє храпове колесо, дозволяючи йому трохи провернутися під дією гирі. У цей момент колесо легенько підштовхує маятник, передаючи йому порцію енергії, якої достатньо для компенсації втрат на тертя. Потім анкер знову зачіпляється за зубець і зупиняє колесо до наступного проходження маятника.

    Таким чином, маятник сам "командує", коли йому потрібен енергетичний "поштовх", і підтримує свої коливання незатухаючими.

  2. Серцебиття

    Наше серце - це біологічна автоколивальна система.

    • Джерело енергії: Хімічна енергія, що виділяється з поживних речовин (глюкози) в клітинах серцевого м'яза.

    • Коливальна система: М'язові стінки серця (міокард), які здатні скорочуватися і розслаблятися.

    • Регулятор (клапан): Спеціалізовані клітини в серці (так званий синусовий вузол), які генерують періодичні електричні імпульси. Ці імпульси поширюються по серцевому м'язу, змушуючи його скорочуватися (качати кров) у певному ритмі. Після скорочення настає фаза розслаблення, після якої синусовий вузол генерує новий імпульс.

    Система сама регулює частоту скорочень, підлаштовуючись під потреби організму, але принцип автоколивань зберігається: є постійне джерело енергії та внутрішній механізм, що керує її витрачанням для підтримки ритмічних скорочень.

Гармонічні коливання#

Залежно від характеру зміни зміщення (координати) тіла з часом, коливання поділяють на гармонічні та негармонічні. У більшості випадків залежність \(x(t)\) має досить складний (негармонічний) характер.

Гармонічними коливаннями називають коливання, при яких координата \(x\) тіла змінюється з часом \(t\) за законом косинуса або синуса. Гармонічні коливання відіграють фундаментальну роль у фізиці, оскільки будь-яке складне негармонічне коливання (будь-який складний коливальний процес) можна представити як суму гармонічних.

Негармонічні коливання - це всі інші види коливань, що не описуються законом синуса чи косинуса.

Рівняння гармонічних коливань:

\[x = A\cos(\omega t + \varphi_0) \text{ або } x = A\sin(\omega t + \varphi_0)\]

Розглянемо значення кожного параметра в цих рівняннях.

Амплітуда коливань \(A\) визначає максимальне відхилення від положення рівноваги: \(x_{max} = A\), оскільки максимальне значення функцій косинуса і синуса дорівнює одиниці.

Фаза коливань \(\varphi = \omega t + \varphi_0\) однозначно визначає стан коливальної системи (координату, швидкість, прискорення) в будь-який момент часу. Одиниця в СІ: радіан (рад).

Початкова фаза коливань \(\varphi_0\) - це фаза коливань у початковий момент відліку часу, коли \(t = 0\), тобто \(\varphi = \varphi_0\). Одиниця в СІ: радіан (рад).

Початкова фаза залежить від того, в якому положенні та з якою швидкістю тіло почало свій рух і від того, синус чи косинус був обраний для опису руху. Наприклад, якщо рух починається з крайнього положення (\(x=A\)), то початкова фаза дорівнює нулю, і рівняння має вигляд \(x = A \cos(\omega t)\). Якщо рух починається з положення рівноваги в напрямку осі \(x\), то рівняння буде \(x = A \sin(\omega t)\) (тут початкова фаза також дорівнює нулю). Останнє рівняння можна переписати наступним чином:

\[x = A \sin(\omega t) = A \cos(\omega t - \frac{\pi}{2}) = A \cos(\omega t + \frac{3 \pi}{2})\]

тобто при виборі косинуса для опису руху, що починається з положення рівноваги в напрямку осі \(x\), початкова фаза уже не буде нульовою, а буде мінус 90 градусів (\(-\pi/2\)) або 270 градусів (\(3\pi/2\)). З точки зору фізики початкова фаза \(\varphi_0\) зазвичай обирається в межах від 0 до \(2\pi\) або від \(-\pi\) до \(\pi\).

Ще один приклад: якщо рух починається з положення рівноваги, але відбувається в напрямку, протилежному напрямку осі \(x\):

\[x = A \cos(\omega t + \frac{\pi}{2}) = - A \sin(\omega t) = A \sin (\omega t + \pi)\]

тобто при виборі косинуса початкова фаза буде дорівнювати 90 градусів або \(\pi/2\), а при виборі синуса початкова фаза буде дорівнювати 180 градусів або \(\pi\).

Тобто, ми бачимо, що вибір між косинусом і синусом залежить від того, з якого моменту ми починаємо спостереження (тобто від початкових умов):

  • Якщо початковий момент відліку часу \((t = 0)\) співпадає з моментом максимального відхилення тіла від положення рівноваги \((x_0 = x_{max} = A)\), то рівняння коливань доцільно записувати у формі: \(x_0 = A\cos\omega t\).

  • Якщо початковий момент відліку часу \((t = 0)\) співпадає з моментом проходження тілом положення рівноваги \((x_0 = 0)\) і швидкість тіла спрямована в напрямку осі \(x\), то рівняння коливань краще записувати у формі: \(x = A\sin\omega t\).

  • Якщо початковий момент відліку часу \((t = 0)\) співпадає з моментом проходження тілом положення рівноваги \((x_0 = 0)\), але швидкість тіла спрямована в напрямку, протилежному до напрямку осі \(x\), то рівняння коливань можна записувати або у формі \(x = A \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})\) або у формі \(x = A \sin (\omega t + \pi)\). Обидва варіанти описують рух з положення рівноваги в негативному напрямку, але мають різні початкові фази.

Циклічна частота (\(\omega\)) - це фізична величина, що показує, скільки повних коливань здійснюється за \(2\pi\) секунд. Більш строге означення: циклічна частота \(\omega\) визначає швидкість зміни фази коливань. Одиниця в СІ: радіан на секунду (рад/с), але оскільки радіан є безрозмірнісною величиною (відношення довжини дуги до радіуса), одиницю циклічної частоти іноді записують просто як с\(^{-1}\). Циклічна частота \(\omega\) пов'язана з періодом коливань \(T\) співвідношенням

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Це випливає з того, що косинус і синус є періодичними функціями:

\[\cos(\omega t + \varphi_0) = \cos(\omega t + \varphi_0 + 2\pi)\]

Оскільки коливання повністю повторюються через час, рівний періоду \(T\), то

\[\cos(\omega t + \varphi_0) = \cos(\omega(t + T) + \varphi_0)\]

звідки

\[\omega t + \varphi_0 + 2\pi = \omega t + \omega T + \varphi_0\]

і отримуємо

\[\omega = \frac{2\pi}{T} = 2 \pi \nu\]

Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях#

Можна математично довести, що коли координата тіла змінюється за гармонічним законом, то швидкість і прискорення руху тіла також змінюються гармонічно. При цьому виконуються такі співвідношення:

\[v_{max} = \omega x_{max}; \quad a_{max} = \omega^2 x_{max}; \quad a_x = -\omega^2 x\]

Існує і зворотне твердження: якщо в довільний момент часу прискорення тіла прямо пропорційне його зміщенню і спрямоване у протилежний бік відносно зміщення, то такий рух є гармонічним коливанням.

Виведення вищевказаних формул вимагає розуміння поняття похідної і виходить за рамки базової шкільної програми, однак для повноти картини, це виведення наведено нижче.

Оскільки при гармонічних коливаннях координата тіла змінюється, то тіло має швидкість і прискорення, які також змінюються гармонічно. Для отримання формул ми скористаємося методами математичного аналізу. Швидкість - це перша похідна від координати за часом, а прискорення - перша похідна від швидкості (або друга похідна від координати).

Якщо рівняння руху має вигляд \(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)\), то:

  1. Швидкість \(v_x(t)\) є першою похідною від координати:

    \[ v_x(t) = x'(t) = (A \cos(\omega t + \varphi_0))' = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0) \]

    Максимальне значення швидкості (амплітуда швидкості) досягається, коли \(\sin(\omega t + \varphi_0) = \pm 1\). Отже:

    \[ v_{max} = \omega A = \omega x_{max} \]

  2. Прискорення \(a_x(t)\) є першою похідною від швидкості (або другою від координати):

    \[ a_x(t) = v_x'(t) = (-A\omega \sin(\omega t + \varphi_0))' = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0) \]

    Максимальне значення прискорення (амплітуда прискорення) досягається, коли \(\cos(\omega t + \varphi_0) = \pm 1\):

    \[ a_{max} = \omega^2 A = \omega^2 x_{max} \]

Зверніть увагу на цікавий зв'язок між прискоренням та зміщенням. Оскільки \(A \cos(\omega t + \varphi_0) = x\), ми можемо переписати рівняння для прискорення так:

\[ a_x = -\omega^2 x \]

Ця формула є динамічною ознакою гармонічних коливань. Вона говорить нам, що гармонічні коливання виникають тоді, коли сила, що діє на тіло (а отже, і його прискорення), є прямо пропорційною зміщенню від положення рівноваги і напрямлена в протилежний бік (знак "мінус"). Це саме та "повертаюча" сила, про яку ми говорили на самому початку!

Підсумок#

Поняття / величина

Визначення / Опис

Формула / Ключові моменти

Основні поняття

Механічні коливання

Рухи, що точно або приблизно повторюються через однакові проміжки часу навколо положення рівноваги.

Положення рівноваги

Стан, в якому рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю. Коливальна система може перебувати в цьому стані як завгодно довго, якщо немає зовнішніх впливів.

\(\vec{F}_{рівнодійна} = 0\)

Коливальна система

Сукупність тіл, здатних здійснювати вільні коливання.

Приклади: маятник, вантаж на пружині.

Характеристики коливань

Зміщення \(x\)

Відстань від положення рівноваги до поточного положення тіла. Одиниця в СІ: метр (м).

\(x\)

Амплітуда \(A\)

Максимальне відхилення тіла від положення рівноваги. Одиниця в СІ: метр (м).

\(A = x_{max}\)

Період \(T\)

Час, за який відбувається одне повне коливання. Одиниця в СІ: секунда (с).

\(T = \frac{t}{N}\)

Частота \(\nu\)

Кількість коливань за одиницю часу. Одиниця в СІ: герц (Гц).

\(\nu = \frac{N}{t}\)

Зв'язок періоду і частоти

Ці величини є обернено пропорційними.

\(\nu = \frac{1}{T}\)

Класифікація коливань

Незатухаючі коливання

Коливання, амплітуда яких з часом не змінюється (ідеалізована модель).

\(A = \text{const}\)

Затухаючі коливання

Реальні коливання, амплітуда яких з часом зменшується через втрати енергії.

\(A\) зменшується

Вільні (власні) коливання

Коливання під дією внутрішніх сил системи після виведення її з рівноваги.

В реальності завжди є затухаючими.

Вимушені коливання

Коливання, що відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили.

Частота коливань дорівнює частоті зовнішньої сили.

Автоколивання

Незатухаючі коливання, які система підтримує самостійно за рахунок постійного джерела енергії.

Приклади: годинник з маятником, серцебиття.

Гармонічні коливання

Гармонічні коливання

Коливання, при яких фізична величина (напр. зміщення) змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Будь-яке складне коливання можна представити як суму гармонічних.

Рівняння коливань

Математичний опис гармонічних коливань.

\(x = A\cos(\omega t + \varphi_0)\) або \(x = A\sin(\omega t + \varphi_0)\)

Фаза коливань \(\varphi\)

Визначає стан коливальної системи в будь-який момент часу.

\(\varphi = \omega t + \varphi_0\)

Початкова фаза \(\varphi_0\)

Фаза коливань у початковий момент часу (\(t=0\)).

Визначається початковими умовами.

Циклічна частота \(\omega\)

Швидкість зміни фази коливань.

\(\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu\)

Кінематика гармонічних коливань

Швидкість \(v_x\)

Також змінюється за гармонічним законом.

\(v_x = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)\)

Максимальна швидкість \(v_{max}\)

Амплітудне значення швидкості.

\(v_{max} = A\omega\)

Прискорення \(a_x\)

Також змінюється за гармонічним законом.

\(a_x = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi_0)\)

Максимальне прискорення \(a_{max}\)

Амплітудне значення прискорення.

\(a_{max} = A\omega^2\)

Динамічна ознака

Фундаментальний зв'язок між прискоренням та зміщенням.

\(a_x = -\omega^2 x\)

Додаткові матеріали#

Додаткові матеріали (англійською)#